典型例题分析1:
如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于MN/2的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的个数是
①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;
③点D在AB的中垂线上;④S△DAC:S△ABC=1:3.
解:①根据作图的过程可知,AD是∠BAC的平分线.
故①正确;
②如图,∵在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,
∴∠CAB=60°.
又∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠1=∠2=∠CAB/2=30°,
∴∠3=90°﹣∠2=60°,即∠ADC=60°.
故②正确;
③∵∠1=∠B=30°,
∴AD=BD,
∴点D在AB的中垂线上.
故③正确;
④∵如图,在直角△ACD中,∠2=30°,
∴CD=AD/2,
∴BC=CD+BD=AD/2+AD=3AD/2,S△DAC=AC·CD/2=AC·AD/4.
∴S△ABC=AC·BC/2=AC/2·3AD/2=3AC·AD/4,
∴S△DAC:S△ABC=1/4·AC·AD:3/4·AC·AD=1:3.
故④正确.
综上所述,正确的结论是:①②③④,共有4个.
故选D.
考点分析:
角平分线的性质;线段垂直平分线的性质;作图—基本作图.
题干分析:
①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线;
②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°,则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数;
③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形,由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上;
④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比.
典型例题分析2:
如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点(﹣1,0)和点(0,﹣3),且顶点在第四象限,设P=a+b+c,则P的取值范围是
解:∵抛物线y=ax2+bx+c(c≠0)过点(﹣1,0)和点(0,﹣3),
∴0=a﹣b+c,﹣3=c,
∴b=a﹣3,
∵当x=1时,y=ax2+bx+c=a+b+c,
∴P=a+b+c=a+a﹣3﹣3=2a﹣6,
∵顶点在第四象限,a>0,
∴b=a﹣3<0,
∴a<3,
∴0<a<3,
∴﹣6<2a﹣6<0,
即﹣6<P<0.
故选:B.
考点分析:
二次函数图象与系数的关系;压轴题.
题干分析:
利用二次函数图象的开口方向和对称轴求出a>0,b<0,把x=﹣1代入求出b=a﹣3,把x=1代入得出P=a+b+c=2a﹣6,求出2a﹣6的范围即可.
解题反思:
此题主要考查了二次函数图象的性质,根据图象过(﹣1,0)和点(0,﹣3)得出a与b的关系,以及当x=1时a+b+c=P是解决问题的关键.