典型例题分析1:
如图,抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于点A、B,把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1,将C1关于点B的中心对称得C2,C2与x轴交于另一点C,将C2关于点C的中心对称得C3,连接C1与C3的顶点,则图中阴影部分的面积为 .
解:∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于点A、B,
∴当y=0时,则﹣x2﹣2x+3=0,
解得x=﹣3或x=1,
则A,B的坐标分别为(﹣3,0),(1,0),
AB的长度为4,
从C1,C3两个部分顶点分别向下作垂线交x轴于E、F两点.
根据中心对称的性质,x轴下方部分可以沿对称轴平均分成两部分补到C1与C2.
如图所示,阴影部分转化为矩形.
根据对称性,可得BE=CF=4÷2=2,则EF=8
利用配方法可得y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4
则顶点坐标为(﹣1,4),即阴影部分的高为4,
S阴=8×4=32.
典型例题分析2:
如图,在Rt△ABC中,BC=2,∠BAC=30°,斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM、ON上滑动,下列结论:
①若C、O两点关于AB对称,则OA=2√3;
②C、O两点距离的最大值为4;
③若AB平分CO,则AB⊥CO;
④斜边AB的中点D运动路径的长为π/2;
其中正确的是 (把你认为正确结论的序号都填上).
解:在Rt△ABC中,∵BC=2,∠BAC=30°,
∴AB=4,AC=√(42-22)=2√3,
①若C、O两点关于AB对称,如图1,
∴AB是OC的垂直平分线,
则OA=AC=2√3;
所以①正确;
②如图1,取AB的中点为E,连接OE、CE,
∵∠AOB=∠ACB=90°,
∴OE=CE=AB/2=2,
当OC经过点E时,OC最大,
则C、O两点距离的最大值为4;
所以②正确;
③如图2,当∠ABO=30°时,∠OBC=∠AOB=∠ACB=90°,
∴四边形AOBC是矩形,
∴AB与OC互相平分,
但AB与OC的夹角为60°、120°,不垂直,
所以③不正确;
④如图3,斜边AB的中点D运动路径是:
以O为圆心,以2为半径的圆周的1/4,
则:(90π×2)/180=π,
所以④不正确;
综上所述,本题正确的有:①②;
故答案为:①②.
典型例题分析3:
如图,△ABC中,∠C=90°,AC=6,AB=10,D为BC边的中点,以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切,则⊙O的半径为 .
∵AB、BC是⊙O的切线,
∴点E、F是切点,
∴OE、OF是⊙O的半径;
∴OE=OF;
在△ABC中,∠C=90°,AC=6,AB=10,
∴由勾股定理,得BC=8;
又∵D是BC边的中点,
∴S△ABD=S△ACD,
又∵S△ABD=S△ABO+S△BOD,
∴ABOE/2+BDOF/2=CDAC/2,即10×OE+4×OE=4×6,
解得OE=12/7,
∴⊙O的半径是12/7,
故答案为12/7.
考点分析:
切线的性质.
题干分析:
过点O作OE⊥AB于点E,OF⊥BC于点F.根据切线的性质,知OE、OF是⊙O的半径;然后由三角形的面积间的关系(S△ABO+S△BOD=S△ABD=S△ACD)列出关于圆的半径的等式,求得圆的半径.