心引言经济数学中价格体系的相对稳定性问题及工程技术中的滤波问题等,常涉及两个平_.、_.少,~一_‘_~二、.,_‘_.。_._._._…、_._面‘一d必~一二__._一__…_衡位置牙=”渐近稳定的常系数线性微分方程组云=荔,嚣一孤的“复合”常系数线…_._.‘,、__.__._心.一二_二‘d葱._._…_崛,__二__“__性微分方程组:(’)云=(A+B)芳,(ii)云=‘A一B)分,.(“i)箭二(AB)牙的平衡位置牙=o是否渐近稳定的间题.用矩阵语言表述,即两个特征值实部全小于零的同阶实方阵A与B,其和(差或积)矩阵的特征值的实部是否全小于零.在文献1中,我们称特征值实部全小于零的实方阵为稳定阵.因此上述问题化为:两个稳定阵的和(差或积)是否仍是稳定阵.结论是否定的.例如,对下述两个稳定阵:月=(一:一:)与,=(一;)(因易知,的”个”征值的实”““一,/2“的“个”/一1一1、征值的实部亦是一1/2),它们的和与差:A+B钊.‘)、一1一工/A一B=(一3一5)都不是稳定阵(因,二有一个特征值为。,,一,的特征值实部全是。).又如稳定阵口一(一:一:),易知AC一(;一;)‘;不”“定阵因“”求“个稳“阵的和‘”或积’是稳定阵的各类充分条件就十分必要,它将为上述经济数学等问题提供解决的具体途径.迄今为止,国内外文献上尚未见到这方面的结果,本文尝试讨论这一间题.复旦学报(自然科学版少第即卷扮1稳定阵的和(差或积)是稳定阵的条件以下分别以Re:与I边:表示复数:的实部与虚部,记方阵A与B的换位子矩阵为A,B=丑气R刁,以,(卫)表示矩阵万的秩.定理(LaffeyeeChoi定理)如果h阶阵A与B满足条件以A,B)(l,则A与B必可同时酉上三角化,即存存。阶酉阵U,使U一IAU与U一IBU都是上三角阵s,.定理1如果。阶阵A与B满足条件A,A,B=0,B,A,B刀=0,则A与B必可同时酉上三角化证先证满足假设条件的A与B必可同时上三角化,即存在。阶非奇异阵T,使T一,AT与T一’BT都是上三角阵。分两种情形讨论:(1)如A,B=0,则由L画ffey一hoi定理,结论显然.(2)如A,B钾O,则假设条件为A(AB一刀通)二(月刀一刀月)A,(1)B(通刀一刀通)二(通刀一B姓)B,(2)这说明通丑一丑通与矩阵集合{A,B}可交换,由此可知{A,B}必可约.因若不然,则由著名的Schur引理‘,(与不可约集合可交换的阵必为纯量阵,)可知通刀一丑通二入几,(3)此处入是一复数,I。是。阶单位阵.上式两边取迹,得贴=0,故入=0,于是(3)式化为通刀一刀通=。,即A,B=。,这与(2)的假设相矛盾,故{A,B}可约,则存在”阶非异阵P,使z甲.p一lAP=汁;),尸一lBP=(:l补(4),其中A:与B:都是犷阶复阵,1《,(I“)一一一一面一dt面一dt、,了、.产、、产,上,曰O口矛‘、护‘、.矛.、朴.(Im八),落=1,2,…,几.此处入.与户‘分别是A与B的特征值,感=1,2,…一‘_‘二_“二_..…_.、__心,一系2设常系数线性微分方程组于~=对与,“践甲,”从.工供jjjJ’阵忍d七一一,=B劳的平衡位置必二O均渐近稳定,八而一心一气,、且A与B满足下列条件之一:(i)r(仁A,B)(1,(11)A,[A,B___,‘J__~_.__二__、__._.心,~‘二_d牙A或方的特让值甲只妥有一个是买双,则刁了=(朋娜与花万.==0,B,A,B=0,如果(刀通)牙均不稳定.由定理2还易得下述结论:系3设A是”阶正定(实对称)阵,
