先讨论二阶常系数齐次线性微分方程的解法，再把二阶方程的解法推广到n阶方程。
在二阶齐次线性微分方程
y′′+P(x)y′+Q(x)y=0(1)y''+P(x)y'+Q(x)y=0 \tag{1} y′′+P(x)y′+Q(x)y=0(1)
中，如果y′,yy',yy′,y的系数P(x)P(x)P(x)，Q(x)Q(x)Q(x)均为常数，即（1）式成为
y′′+py′+qy=0(2)y''+py'+qy=0 \tag{2} y′′+py′+qy=0(2)
其中p，q是常数，那么称（2）为二阶常系数齐次线性微分方程。如果p，q不全为常数，称（1）为二阶变系数齐次线性微分方程。
由之前讨论可知，要找微分方程（2）的通解，可以先求出它的两个解y1,y2y_1,y_2y1,y2，如果它们之比不为常数，即y1y_1y1与y2y_2y2线性无关，那么y=C1y1+C2y2y=C_1y_1+C_2y_2y=C1y1+C2y2就是方程（2）的通解。
当r为常数时，指数函数y=erxy=e^{rx}y=erx和它的各阶导数都只相差一个常熟因子。由于指数函数有这个特点，因此用y=erxy=e^{rx}y=erx来尝试，看能否选取适当的常数r，使y=erxy=e^{rx}y=erx满足方程（2）
将y=erxy=e^{rx}y=erx求导，得到
y′=rerx,y′′=r2erxy'=re^{rx},\quad y''=r^2e^{rx} y′=rerx,y′′=r2erx
把y,y′y,y'y,y′和y′′y''y′′代入方程（2），得
(r2+pr+q)erx=0(r^2+pr+q)e^{rx}=0 (r2+pr+q)erx=0
由于erx≠0e^{rx}\neq 0erx=0，所以
r2+pr+1=0(3)r^2+pr+1=0 \tag{3} r2+pr+1=0(3)
由此可见，只要r满足代数方程（3），函数r=erxr=e^{rx}r=erx就是微分方程（2）的解，我们把代数方程（3）叫做微分方程（2）的特征方程。
特征方程（3）是一个二次代数方程，其中r2,rr^2,rr2,r的系数及常数项恰好依次是微分方程（2）中y′′,y′y'',y'y′′,y′及yyy的系数。
特征方程（3）的两个根r1,r2r_1,r_2r1,r2可以用公式
r1,2=−p±p2−4q2r_{1,2}=\frac{-p\pm \sqrt{p^2-4q}}{2} r1,2=2−p±p2−4q
求出。它们有三种不同的情形：
（i）当P2−4q>0P^2-4q>0P2−4q>0时，r1,r2r_1,r_2r1,r2是两个不相等的实根
r1=−p+p2−4q2,r2=−p−p2−4q2r_1=\frac{-p+\sqrt{p^2-4q}}{2},\quad r_2=\frac{-p-\sqrt{p^2-4q}}{2} r1=2−p+p2−4q,r2=2−p−p2−4q
（ii）当p2−4q=0p^2-4q=0p2−4q=0时，r1,r2r_1,r_2r1,r2是两个相等的实根
r1=r2=−p2r_1=r_2=-\frac{p}{2} r1=r2=−2p
（iii）当p2−4q<0p^2-4q<0p2−4q<0时，r1,r2r_1,r_2r1,r2是一对共轭复根
r1=α+βi,r2=α−βir_1=\alpha+\beta i,\quad r_2=\alpha-\beta i r1=α+βi,r2=α−βi
其中
α=−p2,β=4q−p22\alpha=-\frac{p}{2},\quad \beta=\frac{\sqrt{4q-p^2}}{2} α=−2p,β=24q−p2
相应地，微分方程（2）的通解也有三种不同的情形。分别讨论如下：
（i）特征方程有两个不相等的实根：r1≠r2r_1\neq r_2r1=r2
由上面讨论知道，y1=er1x,y2=er2xy_1=e^{r_1x},y_2=e^{r_2x}y1=er1x,y2=er2x是微分方程（2）的两个解，并且y2y1=er2xer1x=e(r2−r1)x\frac{y_2}{y_1}=\frac{e^{r_2x}}{e^{r_1x}}=e^{(r_2-r_1)x}y1y2=er1xer2x=e(r2−r1)x不是常数，因此微分方程（2）的通解为
y=C1er1x+C2er2xy=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x} y=C1er1x+C2er2x
（ii）特征方程有两个相等的实根：r1=r2r_1=r_2r1=r2
这时，只得到微分方程（2）的一个解
y1=er1xy_1=e^{r_1x} y1=er1x
为了得出微分方程（2）的通解，还需求出另一个解y2y_2y2，并且要求y2y1\frac{y_2}{y_1}y1y2不是常数。设y2y1=u(x)\frac{y_2}{y_1}=u(x)y1y2=u(x)，即y2=er1xu(x)y_2=e^{r_1x}u(x)y2=er1xu(x)。下面来求u(x)u(x)u(x)。将y2y_2y2求导，得
y2′=er1x(u′+r1u)y2′′=er1x(u′′+2r1u′+r12u)y_2'=e^{r_1x}(u'+r_1u) \\ y_2''=e^{r_1x}(u''+2r_1u'+r_1^2u) y2′=er1x(u′+r1u)y2′′=er1x(u′′+2r1u′+r12u)
将y2,y2′y_2,y_2'y2,y2′和y2′′y_2''y2′′代入微分方程（2），得
er1x[(u′′+2r1u′+r12u)+p(u′+r1u)+qu]=0e^{r_1x}[(u''+2r_1u'+r_1^2u)+p(u'+r_1u)+qu]=0 er1x[(u′′+2r1u′+r12u)+p(u′+r1u)+qu]=0
约去er1xe^{r_1x}er1x，并合并同类项，得
u′′+(2r1+p)u′+(r12+pr1+q)u=0u''+(2r_1+p)u'+(r_1^2+pr_1+q)u=0 u′′+(2r1+p)u′+(r12+pr1+q)u=0
由于r1r_1r1是特征方程（3）的二重根。因此r12+pr1+q=0r_1^2+pr_1+q=0r12+pr1+q=0，且2r1+p=02r_1+p=02r1+p=0，于是得
u′′=0u''=0 u′′=0
因为这里只要得到一个不为常数的解，所以不妨选取u=x，由此得到微分方程（2）的另一个解
y2=xer1xy_2=xe^{r_1x} y2=xer1x
从而微分方程（2）的通解为
y=C1er1x+C2xer1xy=C_1e^{r_1x}+C_2xe^{r_1x} y=C1er1x+C2xer1x
即
y=(C1+C2x)er1xy=(C_1+C_2x)e^{r_1x} y=(C1+C2x)er1x
（iii）特征方程有一对共轭复根：r1=α+βi,r2=α−βi(β≠0)r_1=\alpha+\beta i,r_2=\alpha-\beta i(\beta \neq 0)r1=α+βi,r2=α−βi(β=0)
这时，y1=e(α+βi)x,y2=e(α−βi)xy_1=e^{(\alpha+\beta i)x},y_2=e^{(\alpha-\beta i)x}y1=e(α+βi)x,y2=e(α−βi)x是微分方程（2）的两个解，但它们是复值函数形式。为了得出实值函数形式的解，先利用欧拉公式eiθ=cosθ+isinθe^{i\theta}=cos\theta+isin\thetaeiθ=cosθ+isinθ把y1,y2y_1,y_2y1,y2改写为
y1=e(α+βi)x=eax⋅eβxi=eax(cosβx+isinβx)y2=e(α−βi)x=eax⋅e−βxi=eax(cosβx−isinβx)y_1=e^{(\alpha+\beta i)x}=e^{ax}·e^{\beta xi}=e^{ax}(cos\beta x+isin\beta x) \\ y_2=e^{(\alpha-\beta i)x}=e^{ax}·e^{-\beta xi}=e^{ax}(cos\beta x-isin\beta x) y1=e(α+βi)x=eax⋅eβxi=eax(cosβx+isinβx)y2=e(α−βi)x=eax⋅e−βxi=eax(cosβx−isinβx)
由于复值函数y1y_1y1与y2y_2y2之间成共轭关系，因此，取它们的和除以2就得到它们的实部，取它们的差除以2i就得到它们的虚部。由于方程（2）的解复合叠加原理，所以实值函数
y^1=12(y1+y2)=eaxcosβx,y^2=12i(y1−y2)=eaxsinβx\hat y_1=\frac{1}{2}(y_1+y_2)=e^{ax}cos\beta x ,\\ \hat y_2=\frac{1}{2i}(y_1-y_2)=e^{ax}sin\beta x y^1=21(y1+y2)=eaxcosβx,y^2=2i1(y1−y2)=eaxsinβx
还是微分方程（2）的解，且y^1y^2=eaxcosβxeaxsinβx=cotβx\frac{\hat y_1}{\hat y_2}=\frac{e^{ax}cos\beta x}{e^{ax}sin\beta x}=cot \,\beta xy^2y^1=eaxsinβxeaxcosβx=cotβx不是常数，所以微分方程（2）的通解为
y=eax(C1cosβx+C2sinβx)y=e^{ax}(C_1cos\beta x+C_2sin\beta x) y=eax(C1cosβx+C2sinβx)
综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程
y′′+py′+qy=0y''+py'+qy =0 y′′+py′+qy=0
的通解的步骤如下：
第一步：写出微分方程（2）的特征方程
r2+pr+q=0(3)r^2+pr+q=0 \tag{3} r2+pr+q=0(3)
第二步：求出特征方程（3）的两个根r1,r2r_1,r_2r1,r2。
第三步：根据特征方程（3）的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程（2）的通解：
