线性代数案例
案例十九. 一阶常系数线性齐次微分方程组的求解
【模型准备】一只虫子在平面直角坐标系内爬行. 开始时位于点P0(1, 0)处. 如果知道虫子在点P(x, y)处沿x轴正向的速率为4x 5y, 沿y轴正向的速率为2x 3y. 如何确定虫子爬行的轨迹的参数方程?
何去何从?
1图31 虫子爬行的轨迹
【模型假设】设t时刻虫子所处位置的坐标为(x(t), y(t)).
【模型构成】由已知条件和上述假设可知
dx=4x 5y, dt而且(x(0), y(0)) = (1, 0). dy =2x 3y, dt
现要由此得出虫子爬行的轨迹的参数方程.
λ 45 4 5 【模型求解】令A = , 则|λE A| == (λ+1)(λ 2). 可见A的特征值为λ1 = 1, 232λ3 +
λ2 = 2.
( E A)x = 0的一个基础解系为: ξ1 = (1, 1)T;
(2E A)x = 0的一个基础解系为: ξ2 = (5, 2)T.
10 令P = (ξ1, ξ2), 则P 1AP = . 02
x u 记X = , Y = , 并且作线性变换X = PY, 则Y = P 1X, y v
dYdX 10 = P 1= P 1AX = P 1APY = Y, 02dtdt
即
dudt 10 u dvdt = 02 v ,
c1e t t2t故u = c1e, v = c2e, 即Y = 2t . 因而 c2e
c1 2/35/3 1 2/3 1= Y| = PX| =t =0t =0 1/3 1/3 0 = 1/3 . c 2
于是
