已知三角形ABC的周长为6 BC向量的模 CA向量的模 AB向量的模依次为a b c 成等比数列求证

问题补充：

已知三角形ABC的周长为6,BC向量的模,CA向量的模,AB向量的模依次为a,b,c,成等比数列求证0

答案：

设|向量BC|＝a,|向量CA|＝b,|向量AB|＝c,则有：

a＋b＋c＝6,b^2＝ac

∴a＋c＝6－b,ac＝b^2

从而a、c是方程x^2－(6－b)x＋b^2＝0的两个实数根

由韦达定理得：

(6－b)^2－4b^2≥0

36－12b＋b^2－4b^2≥0

b^2＋4b－12≤0

(b＋6)(b－2)≤0

由于b＞0,故b≤2

另一方面,|a－c|＜b

∴(a－c)^2＜b^2

(a＋c)^2－4ac＜b^2

(6－b)^2－4b^2＜b^2

b^2＋3b－9＞0

由b＞0知：b＞(－3＋3√5)/2

∴(－3＋3√5)/2＜b≤2

而向量BA·向量BC

＝|向量BA|·|向量BC|·cosB

＝ac·(a^2＋c^2－b^2)/(2ac)

＝(a^2＋c^2－b^2)/2

＝[(a＋c)^2－2ac－b^2]/2

＝[(6－b)^2－3b^2]/2

＝－(b＋3)^2＋27

由(－3＋3√5)/2＜b≤2得：(3＋3√5)/2＜b＋3≤5

(27＋9√5)/2＜(b＋3)^2≤25

－(27＋9√5)/2＞－(b＋3)^2≥－25

－(27＋9√5)/2＋27＞－(b＋3)^2＋27≥－25＋27

即：(27－9√5)/2＞－(b＋3)^2＋27≥2

所求的向量BA·向量BC的取值范围是：[2,(27－9√5)/2)

======以下答案可供参考======

供参考答案1:

设|向量BC|＝a，|向量CA|＝b，|向量AB|＝c，则有：

a＋b＋c＝6，b^2＝ac

∴a＋c＝6－b，ac＝b^2

从而a、c是方程x^2－(6－b)x＋b^2＝0的两个实数根

由韦达定理得：

(6－b)^2－4b^2≥0

36－12b＋b^2－4b^2≥0

b^2＋4b－12≤0

(b＋6)(b－2)≤0

由于b＞0，故b≤2

另一方面，|a－c|＜b

∴(a－c)^2＜b^2

(a＋c)^2－4ac＜b^2

(6－b)^2－4b^2＜b^2

b^2＋3b－9＞0

由b＞0知：b＞(－3＋3√5)/2

∴(－3＋3√5)/2＜b≤2

而向量BA·向量BC

＝|向量BA|·|向量BC|·cosB

＝ac·(a^2＋c^2－b^2)/(2ac)

＝(a^2＋c^2－b^2)/2

＝[(a＋c)^2－2ac－b^2]/2

＝[(6－b)^2－3b^2]/2

＝－(b＋3)^2＋27

由(－3＋3√5)/2＜b≤2得：(3＋3√5)/2＜b＋3≤5

(27＋9√5)/2＜(b＋3)^2≤25

－(27＋9√5)/2＞－(b＋3)^2≥－25

－(27＋9√5)/2＋27＞－(b＋3)^2＋27≥－25＋27

即：(27－9√5)/2＞－(b＋3)^2＋27≥2

所求的向量BA·向量BC的取值范围是：[2，(27－9√5)/2)