已知空间四边形ABCD 连AC BD 若AB＝CD AC＝BD E F分别是AD BC的中点 试用向

问题补充：

已知空间四边形ABCD,连AC、BD,若AB＝CD,AC＝BD,E、F分别是AD、BC的中点,试用向量方法证明EF是AD与BC的公垂线．请不要复制,分不是问题（向量符号不要写）

答案：

设向量AB=向量a,向量AC=向量b,向量AD=向量c

向量EF=AF-AE=(a+b)/2-c/2=(a+b-c)/2

向量AD=c

向量EF*向量AD=(ac+bc-c^2)/2

AB=CD,即|a|=|b-c|,平方,则a^2=b^2+c^2-2b*c

b*c=(b^2+c^2-a^2)/2

AC=BD,即|b|=|a-c|,平方,则b^2=a^2+c^2-2a*c

a*c=(a^2+c^2-b^2)/2

都代入向量EF*向量AD,整理=0

所以向量EF垂直于向量AD,即EF垂直于AD

另一个同理.所以为公垂线

注:题中的*表示向量数量积的点.小写字母就是向量