如图 长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中 使OA OC分别落在x轴 y轴上 连结OB 将

问题补充：

如图，长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连结OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在点A′处，A′B与y轴交于点F，且知OA=1，AB=2．

（1）分别求出OF的长度和点A′坐标；

（2）设过点B的双曲线为：y=（x＞0），则k=______；

（3）直线A′C交双曲线y=于点P，求△OBP的面积是多少？

答案：

解：（1）∵由折叠的性质可知，△OAB≌△OA′B，

∴OA′=OA=1，BA′=BA=2，

∴∠OBA=∠OBA′，∠OA′B=∠OAB=90°，

∵AB∥OC，

∴∠OBA=∠COB，

∴∠COB=∠OBA′，

∴FB=FO，

设FB=FO=x，则A′F=2-x，

在Rt△OA′F中，OA′2+A′F2=OF2，即12+（2-x）2=x2，解得x=，

∴OF=，则A′F=，过点A′作A′E⊥OC于点E，

S△OA′F=OA?A′F=OF?A′E=×1×=××A′E，解得，A′E=，

在Rt△OA′E中，OE2+A′E2=OA′2，即OE2+2=12，

解得，OE=或OE=0（舍去），

∴A′（-，）；

（2）∵OA=1，AB=2，

∴B（1，2），

∴2=，即k=2

∴反比例函数的解析式为；y=；

（3）作直线A′C，

∵OC=BA，BA′=BA，

∴OC=BA′，

∵FB=FO，

∴FC=FA′，

∴∠FA′C=∠FCA′=，

同理，∠FOB=∠FBO=，

∴∠A′CF=∠FOB，

∴A′C∥OB，

∴△OPB的边OB上的高和△OBC的边OB上的高相等，

∴S△OBP=S△OBC=OB?OC=×1×2=1．

解析分析：（1）由图形折叠的性质可知△OAB≌△OA′B，根据全等三角形的性质可知OA′=OA，BA′=BA，∠OBA=∠OBA′，∠OA′B=∠OAB=90°，再由AB∥OC可知∠OBA=∠COB，∠COB=∠OBA′，故FB=FO，

设FB=FO=x，则A′F=2-x，在Rt△OA′F中，根据勾股定理可得出OF，A′F的长，过点A′作A′E⊥OC于点E，根据S△OA′F=OA?A′F=OF?A′E可得出A′E的长，同理，在Rt△OA′E中根据勾股定理可得出OE的长，故可得出点A′的坐标；

（2）由OA=1，AB=2可得出B点坐标，把B点坐标代入反比例y=即可求出k的值，故可得出其解析式；

（3）作直线A′C，根据OC=BA，BA′=BA可知OC=BA′，再由FB=FO可知FC=FA′，由等腰三角形的性质可知∠FA′C=∠FCA′=，同理，∠FOB=∠FBO=，故∠A′CF=∠FOB，A′C∥OB，△OPB的边OB上的高和△OBC的边OB上的高相等，再根据S△OBP=S△OBC=OB?OC即可得出结论．

点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到用待定系数法求反比例函数的解析式，图形反折变换的性质、等腰三角形的性质等知识，难度较大．

如图 长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中 使OA OC分别落在x轴 y轴上 连结OB 将纸片OABC沿OB折叠 使点A落在点A′处 A′B与y轴交于点F 且知OA