定义新运算中的几何压轴题
定义新运算，一直以来常以选择填空的基础题的形式出题，一般与一些代数的简单运算结合，掌握好基本的运算公式即可。如果你也这样子认为，那我只能借助网络用语说“图样图森破”！
不认真写一道定义新运算的压轴题，你能说你真正的经历过中考吗？（哈哈，我保送的！）什么？保送？请你离开地球表面，并接受我们无与伦比的瞻仰（也可能是鄙视）！
中考压轴题已经足够让一批学生望而生畏了，再加上定义新运算，你咋不上天和太阳肩并肩呢？
吐槽归吐槽！在没有实力秒杀中考压轴题的时候，还是乖乖拿上小板凳，带上笔记本，看一看定义新运算怎样在压轴题中添上让人痛哭流涕的一笔吧！
例题讲解
在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图为点P，Q的“相关矩形”示意图．
（1）已知点A的坐标为（1，0），
①若点B的坐标为（3，1），求点A，B的“相关矩形”的面积；
②点C在直线x＝3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；
（2）⊙O的半径为√2，点M的坐标为（m，3），若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围．
【分析】
（1）①由相关矩形的定义可知：要求A与B的相关矩形面积，则AB必为对角线，利用A、B两点的坐标即可求出该矩形的底与高的长度，进而可求出该矩形的面积；
②由定义可知，AC必为正方形的对角线，所以AC与x轴的夹角必为45，设直线AC的解析式为；y＝kx+b，由此可知k＝±1，再（1，0）代入y＝kx+b，即可求出b的值；
（2）由定义可知，MN必为相关矩形的对角线，若该相关矩形的为正方形，即直线MN与x轴的夹角为45°，由因为点N在圆O上，所以该直线MN与圆O一定要有交点，由此可以求出m的范围．
【解答】
解：（1）①∵A（1，0），B（3，1）
由定义可知：点A，B的“相关矩形”的底与高分别为2和1，
∴点A，B的“相关矩形”的面积为2×1＝2；
②由定义可知：AC是点A，C的“相关矩形”的对角线，
又∵点A，C的“相关矩形”为正方形
∴直线AC与x轴的夹角为45°，
设直线AC的解析为：y＝x+m或y＝﹣x+n
把（1，0）分别y＝x+m，
∴m＝﹣1，
∴直线AC的解析为：y＝x﹣1，
把（1，0）代入y＝﹣x+n，
∴n＝1，
∴y＝﹣x+1，
综上所述，若点A，C的“相关矩形”为正方形，直线AC的表达式为y＝x﹣1或y＝﹣x+1；
（2）设直线MN的解析式为y＝kx+b，
∵点M，N的“相关矩形”为正方形，
∴由定义可知：直线MN与x轴的夹角为45°，
∴k＝±1，
∵点N在⊙O上，
∴当直线MN与⊙O有交点时，点M，N的“相关矩形”为正方形，
当k＝1时，
作⊙O的切线AD和BC，且与直线MN平行，
其中A、C为⊙O的切点，直线AD与y轴交于点D，直线BC与y轴交于点B，
连接OA，OC，
把M（m，3）代入y＝x+b，
∴b＝3﹣m，
∴直线MN的解析式为：y＝x+3﹣m
∵∠ADO＝45°，∠OAD＝90°，
∴OD＝√2OA＝2，
∴D（0，2）
同理可得：B（0，﹣2），
∴令x＝0代入y＝x+3﹣m，
∴y＝3﹣m，
∴﹣2≤3﹣m≤2，
∴1≤m≤5，
当k＝﹣1时，把M（m，3）代入y＝﹣x+b，
∴b＝3+m，
∴直线MN的解析式为：y＝﹣x+3+m，
同理可得：﹣2≤3+m≤2，
∴﹣5≤m≤﹣1；
综上所述，当点M，N的“相关矩形”为正方形时，m的取值范围是：1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1
【点评】
本题考查新定义问题，涉及圆的切线性质，矩形的性质，正方形的性质，解答本题需要我们理解相关矩形的定义，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将新旧知识贯穿起来．
