基础线性代数知识点总结与回顾(三):向量空间和二次型
骨骼图:
向量空间
对加法、数乘封闭。
W——n维向量的非空集合,且满足:
则:W为n维向量空间的子空间。
如果向量空间V中的向量(a1,a2,a3…am)满足:
a1,a2,a3…am线性无关V中任意(贝塔)均可由a1,a2,a3…am线性表出。即:
则称a1,a2,a3…am是向量空间V的基,m是向量空间的维数,称V是m维向量空间。称x1,x2,…,xm是向量(贝塔)在基(a1,a2,a3…am)下的坐标。
过渡矩阵:
基(a1,a2,a3)——>基(b1,b2,b3):
[b1,b2,b3]=[a1,a2,a3]*C,C称为过渡矩阵。
向量的内积:
单位化:
柯西-施瓦茨不等式:
等号当且仅当线性相关时成立。
正交,
定理:若n维向量a1,a2,…,an是一组两两正交的非零向量,则a1,a2,…,an线性无关。
施密特(Schmidt)正交化:
线性无关:
特征值(eignvalue)、特征向量(eignvector):
为特征值,为特征向量。
若A可逆:
但是AB与BA的特征向量不同。
不同特征值对应的特征向量线性无关。
A可逆,A的n个特征值全不为0。
二次型
二次型及其矩阵表示:
二次型的秩:r(f)=r(A)
合同:如果,其中C可逆,称矩阵A、B合同,记:
合同性质:反身性,对称性,可传递性。
标准型:
任何一个二次型都能通过坐标变换化成标准型。
配方法正交变换(**重要)
A实对称,存在正交矩阵Q,使得
这里Q可以看作特征向量,可以看作特征值组成的对角矩阵。
为了更直观,上面式子可以进行变形:
这样就一目了然了。
定理:任意一个二次型,其中
,总存在正交变换x=py,(p为A的特征向量,是正交矩阵),使得二次型化为标准型:
其中,是A的n个特征根。
规范性:
首先它必须是标准型,其次它只能由1,-1,0组成。
例如:
任意一个n元二次型都存在坐标变换X=CZ,使f化为规范型。
正惯性指数p,负惯性指数q(针对标准型)
惯定性定理:对一个二次型,经过坐标变换化为标准型,其正惯性指数p,负惯性指数q是唯一确定的。
实对称矩阵A和B合同(等价于)
正定二次型:设二次型
,如果
恒有f(x)>0,则称f为正定二次型,二次型矩阵A称为正定矩阵。(f(x)>=0:半正定)
是否与E合同是正定的必要条件。