基础线性代数知识点总结与回顾(四):线性空间
骨骼图:
#其实,线性空间是向量空间内容的扩展。
首先我把向量空间的内容截图搬过来,便于你们的比较与对照。
线性空间
设V是实数域k上的线性空间,W是V的非空子集,如果W对V中定义的加法和数乘运算都封闭,则称W是V的子空间。
对比向量空间的子空间概念发现,n维向量空间被替换为线性空间V。
设V是线性空间,如果V中存在n个线性无关的向量,而任意n+1个向量都线性相关,则称线性空间V是n维线性空间,而这n个线性无关的向量称为线性空间V的一组基。
设是线性空间的一组基,有:
则称,x1,x2,…,xn为向量在基
下的坐标。
我们知道,一个秩为r的n维矩阵,它有r个线性无关的向量,但是这r个向量组的组成不唯一,但它们都称为基,这就引出来了基变换引发的坐标变换的内容。
过渡矩阵
设与
是三维线性空间的两组基。若:
称,C是由基到基的过渡矩阵。
若r在基下的坐标为。
r在基下的坐标为。
则X=CY:
线性变换
设M和N是两个非空集合,如果给定一个法则,使得M中的每一个元素 都有N中的一个确定元素
与它对应,则是集合M到N的一个映射。
是线性空间V的一个变换,如果对加法和数乘都封闭,则称是线性空间V上的线性变换。
线性变换保持向量的线性组合关系不变。也就是说,线性变换将线性相关的向量组映射成线性相关的向量组。即:如果线性相关,则:线性相关。
线性变换的矩阵表示:
如果:
记:
称
为线性变换在基下的矩阵。
线性空间中有两组基:和
,基到基的过渡矩阵为C,线性空间中线性变换在这两组基下的矩阵依次为A和B,则。