自控原理学习笔记
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1.频率特性函数1.1 图形表示方法:1.2 零极点位置和暂态增益图1.2.1 复轨迹曲线1.2.3 例子1.3 计算系统响应2.开环频率特性幅相曲线2.1 典型环节幅相曲线-Nyquist图2.2一般特性频率曲线2.2.1 开环传递函数:2.2.2 幅相曲线的绘制:2.2.3 特征点2.2.4 例子3.开环对数频率特性3.1Bode图概念3.2 典型环节Bode图3.3 Bode图渐近线画法:3.4最小相位系统:3.5举例1.频率特性函数
对于稳定的线性时不变系统(LTI),
频率特性:
系统稳态输出与输入信号的复数比系统输出信号与输入信号Fouier变换之比
对于稳定的LTI,若R(t)为正弦信号,则y(t)为同频率正弦信号。
物理意义:表征系统对不同频率正弦输入响应特性
频率特性函数实质:复变函数
幅频:A(w)=∣G(iw)∣相频:φ(w)=argG(iw)幅频:A(w)=|G(iw)|\\ 相频:\varphi (w)= arg G(iw) 幅频:A(w)=∣G(iw)∣相频:φ(w)=argG(iw)
1.1 图形表示方法:
Nyquist图----特点:
1)具有对称性; 2)已知开环频率特性L(iω),可令w由小到大取值,算出幅值 | L(iω )| 和相位∠L (iω) 的相应值,在 L 平面描点绘图,可以得到开环幅相曲线。
Bode 图----特点:
1)可展宽幅频范围; 2)可简化作图过程; 3)便于图解应用; 4)难以应用于系统稳定性定理的证明
Nichols图---- 特点:
1)系统增益的改变,不影响相频特性,故增益改变时,对数幅相特性只是简单的向上平移或向下平移,而曲线形状保持不变; 2)G(iω)和1/G(iω)的对数幅相特性图相对原点中心对称,即幅值和相位均相差一个符号; 3)利用对数幅相特性图,很容易由开环频率特性求闭环频率特性,可方便地用于确定闭环系统的稳定性及解决系统的综合校正问题。
1.2 零极点位置和暂态增益图
1.2.1 复轨迹曲线
按广义频率特性,令s=iw,可得到开环系统的复轨迹曲线,可表示为:
极点矢量pip_ipi:分母因式(iw-p_i)是s平面从极点指向虚轴上iw的矢量。
零点矢量zjz_jzj: 分子因式(iw-z_j)是s平面从零点指向虚轴上iw点的矢量。
∣L(iw)∣=K1∏j=1mNj/∏i=1nMiφ(w)=∑j=1mθj−∑i=1iμi\left | L(iw)\right | =K_1 \prod_{j=1}^{m}N_j / \prod_{i=1}^{n}M_i \\ \varphi(w) =\sum_{j=1}^{m} \theta _j-\sum_{i=1}^{i} \mu _i ∣L(iw)∣=K1j=1∏mNj/i=1∏nMiφ(w)=j=1∑mθj−i=1∑iμi
幅频特性:零点矢量模的乘积除以极点矢量模的乘积,再乘上暂态增益K1K_1K1
1.2.3 例子
画出频率特性G(iω)=(iω+3)/[(iω+2)(iω+4)]在频率为1Hz时的极点矢量和零点矢量,并计算该频率下的幅频与相频。
1.3 计算系统响应
2.开环频率特性幅相曲线
2.1 典型环节幅相曲线-Nyquist图
2.2一般特性频率曲线
2.2.1 开环传递函数:
幅频:|L(iw)|相频:2.2.2 幅相曲线的绘制:
开环幅相曲线的起点(w=0+0^+0+)和终点(w=∞\infty∞)
L(i0+)={Kei0,ν=0∞e−iν×90,ν>0L(i∞)=0e−i(n−m)90当没有右半平面的开环零极点时取小正数ϵ∠L(iϵ)=−ν×90+∑arctanτkϵ−∑arctanTjϵ≈−ν×90+(∑τk−∑Tj)ϵL(i0^+)=\left\{\begin{matrix} Ke^{i0}, \quad \nu =0\\ \infty e^{-i\nu \times 90 },\quad \nu >0 \end{matrix}\right. \\ L(i\infty )=0e^{-i(n-m)90} \\ 当没有右半平面的开环零极点时\\取小正数\epsilon \quad \angle L(i\epsilon )=-\nu \times 90+\sum \arctan \tau_k\epsilon -\sum \arctan T_j\epsilon \\ \approx -\nu \times 90+(\sum \tau_k-\sum T_j)\epsilon L(i0+)={Kei0,ν=0∞e−iν×90,ν>0L(i∞)=0e−i(n−m)90当没有右半平面的开环零极点时取小正数ϵ∠L(iϵ)=−ν×90+∑arctanτkϵ−∑arctanTjϵ≈−ν×90+(∑τk−∑Tj)ϵ
开环幅相曲线与负实轴的交点,交点坐标为:
ReL(iw)=L(iw)令虚部为0ReL(iw) = L(iw) \quad 令虚部为0 ReL(iw)=L(iw)令虚部为0
开环幅相曲线的变化范围(象限性,单调性)
2.2.3 特征点
相位穿越频率:首次使得相位为-180°。
∠L(iwpc)=−180°\angle L(iw_{pc})=-180° ∠L(iwpc)=−180°
增益穿越频率wcw_cwc:首次使得增益为1
∣L(iwc)∣=1|L(iw_c)|=1 ∣L(iwc)∣=1
2.2.4 例子
3.开环对数频率特性
3.1Bode图概念
Bode图由对数幅频特性和相频特性构成。通常以分贝值作为纵坐标。
∣L(iw)∣dB=20lg∣L(iw)∣(dB)|L(iw)|_{dB}=20\lg^{|L(iw)|}(dB) ∣L(iw)∣dB=20lg∣L(iw)∣(dB)
3.2 典型环节Bode图
比例环节
频率特性为∣G(iw)∣=k|G(iw)|=k∣G(iw)∣=k
对数幅频特性: 20lg∣G(iw)∣=20lgk20\lg{|G(iw)|}=20\lg^k20lg∣G(iw)∣=20lgk
相频特性: ∠G(iw)=0°\angle G(iw)=0\degree∠G(iw)=0°
微分环节
G(iw)=iTdwG(iw)=iT_dwG(iw)=iTdw
对数幅频特性:20lg∣G(iw)∣=20lgTdw20\lg|G(iw)|=20\lg{T_dw}20lg∣G(iw)∣=20lgTdw
相频特性:∠G(iw)=90°\angle G(iw) = 90\degree∠G(iw)=90°
积分环节
G(iw)=1iTiwG(iw)=\frac{1}{iT_iw}G(iw)=iTiw1
对数幅频特性:20lg∣G(iw)∣=−20lg(Tiw)20lg|G(iw)|=-20\lg(T_iw)20lg∣G(iw)∣=−20lg(Tiw)
相频特性:∠G(iw)=−90°\angle G(iw) =-90\degree∠G(iw)=−90°
惯性环节
G(iw)=1iTw+1G(iw)=\frac{1}{iTw+1}G(iw)=iTw+11
对数幅频特性:20lg∣G(iw)∣=−10lg[1+(wT)2]20lg|G(iw)|=-10\lg[1+(wT)^2]20lg∣G(iw)∣=−10lg[1+(wT)2]
相频特性:∠G(iw)=−arctanwT\angle G(iw)= -\arctan wT∠G(iw)=−arctanwT
一阶微分环节
G(iw)=1+iTwG(iw)=1+iTwG(iw)=1+iTw
对数幅频特性:20lg∣G(iw)∣=10lg[1+(wT)2]20lg|G(iw)|=10\lg[1+(wT)^2]20lg∣G(iw)∣=10lg[1+(wT)2]
相频特性:∠G(iw)=arctanwT\angle G(iw)=\arctan wT∠G(iw)=arctanwT
二阶振荡环节
G(iw)=1(iTw)2+2ζiTw+1=11−(w/wn)2+i2ζw/wnG(iw)=\frac{1}{(iTw)^2+2\zeta iTw+1}=\frac{1}{1-(w/w_n)^2+i2\zeta w/w_n}G(iw)=(iTw)2+2ζiTw+11=1−(w/wn)2+i2ζw/wn1
对数幅频特性:20lg∣G(iw)∣=−10lg{[1−(w/wn)2]2+(2ζw/wn)2}20lg|G(iw)|=-10\lg \{[1-(w/w_n)^2]^2+(2\zeta w/w_n)^2\}20lg∣G(iw)∣=−10lg{[1−(w/wn)2]2+(2ζw/wn)2}
相频特性:
∠G(iw)={−arctan2ζw/wn1−w2/wn2,w<wn−180°−arctan2ζw/wn1−w2/wn2,w>wn\angle G(iw)=\left \{\begin{matrix} -\arctan\frac{2\zeta w/w_n}{1-w^2/w_n^2},\quad w<w_n \\ -180\degree -\arctan\frac{2\zeta w/w_n}{1-w^2/w_n^2},\quad w>w_n \\ \end{matrix} \right. ∠G(iw)={−arctan1−w2/wn22ζw/wn,w<wn−180°−arctan1−w2/wn22ζw/wn,w>wn
二阶微分环节
G(iω)=1−(ω/ωn)2+i2ζω/ωnG(iω)=1−(ω/ω_n)^2+i2ζω/ω_nG(iω)=1−(ω/ωn)2+i2ζω/ωn
对数幅频特性:20lg∣G(iw)∣=10lg{[1−(ω/ωn)2]2+(2ζw/wn)220lg|G(iw)|=10 \lg \{[1−(ω/ω_n)^2]^2+(2\zeta w/w_n)^220lg∣G(iw)∣=10lg{[1−(ω/ωn)2]2+(2ζw/wn)2
相频特性:∠G(iw)={arctan2ζw/wn1−w2/wn2,w<wn180°+arctan2ζw/wn1−w2/wn2,w>wn\angle G(iw)=\left \{\begin{matrix} \arctan\frac{2\zeta w/w_n}{1-w^2/w_n^2},\quad w<w_n \\ 180\degree +\arctan\frac{2\zeta w/w_n}{1-w^2/w_n^2},\quad w>w_n \\ \end{matrix} \right.∠G(iw)={arctan1−w2/wn22ζw/wn,w<wn180°+arctan1−w2/wn22ζw/wn,w>wn
延迟环节
G(iw)=e−iτwG(iw)=e^{-i\tau w}G(iw)=e−iτw
对数幅频特性:$20lg|G(iw)|=0 $
相频特性:∠G(iw)=−τw\angle G(iw)=-\tau w∠G(iw)=−τw
3.3 Bode图渐近线画法:
将开环传递函数写成时间常数标准式,确定系统开环增益K,把各典型环节的转折频率依次标在频率轴。
L(s)=K1∏j=1m(s−zj)∏i=1n(s−pi)L(s)=\frac{K_1\prod^m_{j=1}(s-z_j)}{\prod^n_{i=1}(s-p_i)} L(s)=∏i=1n(s−pi)K1∏j=1m(s−zj)
由于系统低频段渐近线的频率特性为K/(iw)νK/(iw)^\nuK/(iw)ν,因此,过(Kν,0)或(1,20lgK)(\sqrt[\nu]K,0)或(1,20\lg K)(νK,0)或(1,20lgK)点绘制斜率为−ν×20dB/dec-\nu \times 20dB/dec−ν×20dB/dec的直线为低频段渐近线(ν为积分环节数\nu为积分环节数ν为积分环节数)纯积分无转折频率
沿频率增大方向没遇到一个转折频率改变一次斜率,遇到分子一阶环节,频率+20dB/dec,二阶+40dB/dec,同理分母为负。渐近线最后一段斜率为-20(n-m)dB/dec.
绘制相频特性曲线,分别绘制各环节相频曲线,最后进行叠加
3.4最小相位系统:
最小相位系统:没有开环RHP1零点和极点的系统。
非最小相位系统:含有开环RHP零点、极点,其相位滞后较大
3.5举例
Right Half Plane ↩︎