问题补充:
已知函数f(x)=ax+bsinx,当时,f(x)取得极小值.
(1)求a,b的值;
(2)设直线l:y=g(x),曲线S:y=F(x).若直线l与曲线S同时满足下列两个条件:
①直线l与曲线S相切且至少有两个切点;
②对任意x∈R都有g(x)≥F(x).则称直线l为曲线S的“上夹线”.
试证明:直线l:y=x+2是曲线S:y=ax+bsinx的“上夹线”.
(3)记,设x1是方程h(x)-x=0的实数根,若对于h(x)定义域中任意的x2、x3,当|x2-x1|<1,且|x3-x1|<1时,问是否存在一个最小的正整数M,使得|h(x3)-h(x2)|≤M恒成立,若存在请求出M的值;若不存在请说明理由.
答案:
答案:(1)由已知f(x)=a+bcosx,于是得:代入可得:a=1,b=-2…(3分)
(2)由f(x)=1-2cosx=1,得cosx=0,当时,cosx=0此时,,y1=y2所以是直线l与曲线S的一个切点,当时,cosx=0,,,y1=y2
所以是直线l与曲线S的一个切点 所以直线l与曲线S相切且至少有两个切点…(6分)
对任意x∈R,g(x)-F(x)=(x+2)-(x-2sinx)=2+2sinx≥0
所以g(x)≥F(x),因此直线l:y=x+2是曲线S:y=ax+bsinx的“上夹线”…(9分)
(3)方法一:,x1为的根,即x1=0,也即|x3|<1,|x2|<1…(10分)
而∴,
∴…(13分)
所以存在这样最小正整数M=2使得|h(x3)-h(x2)|≤M恒成立.…(14分)
方法二:不妨设x2<x3,因为h(x)>0,所以h(x)为增函数,所以h(x2)<h(x3)
又因为h(x)-1<0,所以h(x)-x为减函数,所以h(x2)-x2>h(x3)-x3所以0<h(x3)-h(x2)<x3-x2,…(11分)
即|h(x3)-h(x2)|<|x3-x2|=|x3-x1-(x2-x1)|≤|x3-x1|+|x2-x1|<2…(13分)
故存在最小正整数M=2,使得|h(x3)-h(x2)|≤M恒成立…(14分)
分析:(1)根据题意,求出函数的导数再代入可得方程组,求解即可;
(2)设直线l:g(x)=x+2,曲线S:f(x)=ax+bsinx,求出f(x)的导数,因为直线斜率为1,由f(x)=1-2cosx=1可得极值点,再验证得到直线与曲线f(x)的切点,利用g(x)≥F(x)也可作差得到结论.
(3)本问可求出h(x)的最大值和最小值然后转化为|h(x3)-h(x2)|max=|h(x)max-h(x)min|小于某个正整数M即可;本问题也可以利用函数的单调性来求解,只需做一个转化h(x)与x的关系,为此可构造函数h(x)-x,于是可以证得结论.
点评:考查函数的导数以及导数的应用:求函数的极值,最值判断极值存在的条件,本题中的(2)和(3)是一种新定义问题,如果对定义以及本题题意把握不准,难免会出差错,甚至无从下手,这就需要多角度分析,比如数形结合来分析,再者关键是深刻理解性定义,这样就能容易解答;第(3)问较为综合,是一类新颖的函数问题,解答本题转化与划归是精髓,另外结合要证明的不等式之特点,构造函数不失为一种好思维,好方法.