问题补充：
对于数列{an}，规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an=an+1-an（n∈N*）；一般地，规定{△kan}为数列{an}的k阶差分数列，其中△kan=△k-1an+1-△k-1an，且k∈N*，k≥2．
（Ⅰ）已知数列{an}的通项公式an=n2-n（n∈N*），试证明{△an}是等差数列；
（Ⅱ）若数列{an}的首项a1=1，且满足△2an-an+1+an=-2n（n∈N*），求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记bn=，求证：b1++…+＜．
答案：
解：（Ⅰ）根据题意：△an=an+1-an=（n+1）2-（n+1）-n2+n=5n-4 （2分）
∴△an+1-△an=6．
∴数列{Dan}是首项为1，公差为5的等差数列．（3分）
（Ⅱ）由△2an-△an+1+an=-2n，∴△an+1-△an-△an+1+an=-2n，?△an-an=2n．（5分）
而△an=an+1-an，∴an+1-2an=2n，∴-=，（6分）
∴数列{}构成以为首项，为公差的等差数列，
即=?an=n?2n-1．（7分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知an=n?2n-1，
∴bn===（9分）
∴当n≥2，n∈N*时==（-），
∴b1++…+=1+[（-）+（-）+（-）+…+（-）+（-）]
=1+（+--）＜1+（+）=．
当n=1时，b1=1＜，显然成立．
∴b1++…+＜．（12分）
解析分析：（Ⅰ）根据题意：△an=an+1-an=（n+1）2-（n+1）-n2+n=5n-4，所以△an+1-△an=6．由此能够证明{△an}是等差数列．（Ⅱ）由△2an-△an+1+an=-2n，知△an+1-△an-△an+1+an=-2n，所以△an-an=2n．由此入手能够求出数列{an}的通项公式．（Ⅲ）由an=n?2n-1，bn===，当n≥2，n∈N*时，==（-），由此入手，能够证明b1++…+＜．
点评：第（Ⅰ）题考查等差数列的证明，解题时要注意等差数列性质的合理运用；第（Ⅱ）题考查数列通项公式的求解方法，解题时要注意构造法的合理运用；第（Ⅲ）题考查数列前n项和的证明，解题时要注意裂项求和法的合理运用．
对于数列{an} 规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列 其中△an=an+1-an（n∈N*）；一般地 规定{△kan}为数列{an}的k阶差分数列 其中△ka
