问题补充:
已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱AA1垂直于底面,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AD=AA1=2,AB=BC=1,E为A1D的中点.
(1)试在线段CD上找一点F,使EF∥平面A1BC,并说明理由;
(2)求证:CD⊥平面A1ACC1,并求四棱锥D-A1ACC1的体积.
答案:
解:(1)取CD的中点F,连接EF,则EF是△DA1C的中位线,∴EF∥A1C.∵A1C?面A1BC,
EF在面A1BC 外,∴EF∥平面A1BC.
(2)∵底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AD=AA1=2,AB=BC=1,∴AC=CD=,
由勾股定理得 AC⊥CD.再由AA1垂直于底面得,AA1⊥CD.而AC和AA1是平面A1ACC1内的两条相交直线,
∴CD⊥平面A1ACC1.
矩形A1ACC1的面积等于? AA1×AC=2×=2,四棱锥D-A1ACC1的高 CD=,
四棱锥D-A1ACC1的体积为AA1×AC×CD=.
解析分析:(1)取CD的中点F,则EF是△DA1C的中位线,得到 EF∥A1C,从而证得 EF∥平面A1BC.(2)由勾股定理证得 AC⊥CD,再由AA1垂直于底面得,AA1⊥CD,从而证得CD⊥平面A1ACC1,求出矩形A1ACC1的面积,四棱锥D-A1ACC1的高 CD,代入四棱锥D-A1ACC1的体积公式进行运算.
点评:本题考查证明线面平行、线面垂直的方法,体现了数形结合的数学思想,证明CD⊥平面A1ACC1,是解题的难点.
已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱AA1垂直于底面 底面ABCD为直角梯形 AD∥BC AB⊥BC AD=AA1=2 AB=BC=1 E为A1D的中点.(1)