问题补充:
已知:如图,二次函数图象的顶点坐标为C(1,-2),直线y=kx+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点,其中A点坐标为(3,0),B点在y轴上.点P为线段AB上的一个动点(点P与点A、B不重合),过点P且垂直于x轴的直线与这个二次函数的图象交于点E.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)设点P的横坐标为x,求线段PE的长(用含x?的代数式表示);
(3)点D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点,若以点P、E、D为顶点的三角形与△AOB相似,请求出P点的坐标.
答案:
解:(1)设二次函数的解析式为y=a(x-1)2-2,
∵A(3,0)在抛物线上,
∴0=a(3-1)2-2
∴a=,
∴y=(x-1)2-2,
(2)抛物线与y轴交点B的坐标为(0,),
设直线AB的解析式为y=kx+m,
∴,
∴,
∴直线AB的解析式为y=x-.
∵P为线段AB上的一个动点,
∴P点坐标为(x,x-).(0<x<3)
由题意可知PE∥y轴,∴E点坐标为(x,x2-x-),
∵0<x<3,
∴PE=(x-)-(x2-x-)=-x2+x,
(3)由题意可知D点横坐标为x=1,又D点在直线AB上,
∴D点坐标(1,-1).
①当∠EDP=90°时,△AOB∽△EDP,
∴.
过点D作DQ⊥PE于Q,
∴xQ=xP=x,yQ=-1,
∴△DQP∽△AOB∽△EDP,
∴,
又OA=3,OB=,AB=,
又DQ=x-1,
∴DP=(x-1),
∴,
解得:x=-1±(负值舍去).
∴P(-1,)(如图中的P1点);
②当∠DEP=90°时,△AOB∽△DEP,
∴.
由(2)PE=-x2+x,DE=x-1,
∴,
解得:x=1±,(负值舍去).
∴P(1+,-1)(如图中的P2点);
综上所述,P点坐标为(-1,)或(1+,-1).
解析分析:(1)首先设二次函数的解析式为y=a(x-1)2-2,由A点坐标为(3,0),则可将A点的坐标代入函数解析式,利用待定系数法即可求得这个二次函数的解析式;
(2)首先利用待定系数法求得直线AB的解析式,然后由P在直线上,将x代入直线方程,即可求得P的纵坐标,又由E在抛物线上,则可求得E的纵坐标,它们的差即为PE的长;
(3)分别从当∠EDP=90°时,△AOB∽△EDP与当∠DEP=90°时,△AOB∽△DEP两种情况去分析,注意利用相似三角形的对应边成比例等性质,即可求得
已知:如图 二次函数图象的顶点坐标为C(1 -2) 直线y=kx+m的图象与该二次函数的图象交于A B两点 其中A点坐标为(3 0) B点在y轴上.点P为线段AB上的