问题补充:
如图,已知二次函数图象的顶点坐标为M(2,0),直线y=x+2与该二次函数的图象交于A、B两点,其中点A在y轴上,P为线段AB上一动点(除A,B两端点外),过P作x轴的垂线与二次函数的图象交于点Q,设线段PQ的长为l,点P的横坐标为x.
(1)求出l与x之间的函数关系式,并求出l的取值范围;
(2)在线段AB上是否存在一点P,使四边形PQMA为梯形?若存在,求出点P的坐标及梯形PQMA的面积;若不存在,请说明理由;
(3)当2<x<6时,延长PQ、AM交于F,连接NF、PM,求证:NF⊥PM.
答案:
解:(1)∵抛物线的顶点为M(2,0),
∴设其解析式为y=a(x-2)2.
∵抛物线经过直线y=x+2与y轴的交点A(0,2),
∴,
∴抛物线的解析式为.
∵PQ⊥x轴且横坐标为x,
∴.
由得点B的坐标为B(6,8),
∵点p在线段AB上运动,
∴0<x<6.
∵,
∴当x=3时,.
∴.…
(2)作MQ∥AP.过M作MD∥PQ,MD交AB于N,
则四边形PQMD为平行四边形.
∴MD=PQ,∵M(2,0),∴D(2,4),∴MD=4.
∴.
∴x2-6x+8=0,∴x1=2,x2=4.
∵2<x<6,∴x=4.
∴P(4,6),Q(4,2).
∴存在点P(4,6),使四边形PQMA为梯形.
如图,
S梯形PQMA=S梯形PEOA-S△AOM-S△MQE
=.
(3):∵直线y=x+2与x轴,y轴相交于点N,A.
∴ON=OA=2,又∵OA=OM=2.
∴FA⊥NP,
∵NE⊥PF,
∴点M是△PNF的垂心.
∴NF⊥PM.
解析分析:(1)根据直线y=x+2的解析式求出A点的坐标,根据A、B的坐标求出抛物线的解析式,由PQ⊥x轴得P、Q的横坐标为x,最后用纵坐标的差表示出来就可.根据A、B两点的总坐标就可以求出取值范围.
(2)过点M作MQ∥AB交抛物线于点Q,连接AM,作PQ∥y轴于点P,过M作MD∥PQ,MD交AB于N,得出四边形PQMD为平行四边形,可以求出MD的长度,从而求出P点的坐标和梯形的面积.
(3)由直线y=x+2和抛物线可以求出OA=ON=OM=2,可以得出FA⊥NP,由NE⊥PF,所以有点M是△PNF的垂心,从而得出结论.
点评:本题是一道二次函数的综合试题,考查了待定系数法求二次函数的解析式,梯形的性质的运用及梯形的面积,三角形的垂心的运用.
如图 已知二次函数图象的顶点坐标为M(2 0) 直线y=x+2与该二次函数的图象交于A B两点 其中点A在y轴上 P为线段AB上一动点(除A B两端点外) 过P作x轴