问题补充:
如图,抛物线y=x2+mx过点A(4,0),O为坐标原点,Q是抛物线的顶点
(1)求m的值及Q点的坐标;
(2)点P是x轴下方抛物线上的一个动点,过P作PH⊥X轴,H为垂足.当点P在x轴下方抛物线上运动至何点时,折线P-H-O的长度最长?并且求出此时折线P-H-O的长度.
(3)请用文字叙述,当点P在x轴下方抛物线上运动时,折线P-H-O的长度随x的变化情况.
答案:
解:(1)将点A(4,0)代入抛物线y=x2+mx中,得
16+4m=0,
解得m=-4,
∴抛物线解析式为y=x2-4x,
配方,得y=(x-2)2-4,∴Q(2,-4);
(2)设H(x,0),则P(x,x2-4x),
可知,折线P-H-O的长度w=x+[-(x2-4x)]=-x2+5x=-(x-)2+,
∵-1<0,抛物线开口向下,
∴当x=时,折线P-H-O的长度最长,长度为;
(3)∵0<x<4,
∴当0<x≤时,折线P-H-O的长度随x的增大而增大,
当<x<4时,折线P-H-O的长度随x的增大而减小.
解析分析:(1)将A点坐标代入抛物线解析式,可求m的值,利用配方法求抛物线顶点坐标;
(2)设H(x,0),表示P点坐标及折线P-H-O的长度,利用二次函数的性质求折线P-H-O长度的最大值;
(3)利用折线P-H-O的长度的解析式,解答折线P-H-O的长度随x的变化情况.
点评:本题考查了二次函数的综合运用.关键是利用待定系数法求抛物线解析式,利用点的坐标表示线段的长度,列出函数关系式,根据二次函数的性质解答问题.
如图 抛物线y=x2+mx过点A(4 0) O为坐标原点 Q是抛物线的顶点(1)求m的值及Q点的坐标;(2)点P是x轴下方抛物线上的一个动点 过P作PH⊥X轴 H为垂