问题补充:
在边长为1的正方形ABCD的边AB上取一点P,边BC上取一点Q,边CD上取一点M,边AD上取一点N,如果AP+AN+CQ+CM=2,求证:PM⊥QN.
答案:
证明:如图所示,将正方形ABCD绕点A顺时针旋转90°,
则正方形ABCD变到正方形ADC1D1的位置,
其中A不变,B变到D,Q变到Q1,C变到C1,N变到N1,直线QN变到Q1N1.
因此QN⊥Q1N1,
因为AN=AN1,CQ=C1Q1,
所以PN1=AP+AN1=AP+AN=2-(CM+CQ)=CC1-(CM+C1Q1)=MQ1.
又PN1∥MQ1,
所以四边形PMQ1N1是平行四边形.
故PM∥Q1N1.
因此PM⊥QN.
解析分析:直接证明PM⊥QN有困难,可设想将QN旋转90°成一新的直线Q1N1,只需证明PM∥Q1N1即可.
点评:中心对称的性质:
(1)关于中心对称的两个图形,对应点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平分.
(2)关于中心对称的两个图形是全等图形.
中心对称的思想方法:
利用中心对称的性质可以解决线段的相等问题、中点及角的相等问题以及转化图形来解决某些较困难的题型.
在边长为1的正方形ABCD的边AB上取一点P 边BC上取一点Q 边CD上取一点M 边AD上取一点N 如果AP+AN+CQ+CM=2 求证:PM⊥QN.