问题补充:
已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴,焦点F在直线m:y=上,直线m与抛物线相交于A,B两点,P为抛物线上一动点(不同于A,B),直线PA,PB分别交该抛物线的准线l于点M,N.
(1)求抛物线方程;
(2)求证:以MN为直径的圆C经过焦点F,且当P为抛物线的顶点时,圆C与直线m相切.
答案:
解:(1)依题意,焦点F(1,0),抛物线方程为y2=4x.
(2)由得4x2-17x+4=0,x1=4,,
∴.
设,则,
直线PA:,令x=-1,
得,即,
同理,直线PB:,令x=-1,得,
即,
∴,∴MF⊥NF,
∴以MN为直径的圆C经过焦点F.
当P为抛物线的顶点时,t=0,可得MN中点,即圆心,,,
∴,即CF⊥AB,
∴圆C与直线m相切.
解析分析:(1)依题意可知焦点F的坐标,进而求得p,则抛物线的方程可得.(2)把直线与抛物线方程联立,求得交点A,B的坐标,设出点P的坐标,则直线AP的斜率可表示出来,根据点斜式表示直线AP的方程,把x=-1代入求得M的纵坐标,同理可表示出直线PB的方程把x=-1代入求得N的纵坐标,进而求得判断出MF⊥NF,进而可知以MN为直径的圆C经过焦点F.当P为抛物线的顶点时,t=0,可得MN中点,即圆心坐标,进而求得,进而可知CF⊥AB,推断出圆C与直线m相切.
点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.考查了学生运用数学知识分析问题和解决问题的能力.
已知抛物线的顶点在坐标原点 对称轴为x轴 焦点F在直线m:y=上 直线m与抛物线相交于A B两点 P为抛物线上一动点(不同于A B) 直线PA PB分别交该抛物线的准