问题补充:
解答题直线l过点M(1,1),与椭圆+=1交于P,Q两点,已知线段PQ的中点横坐标为,求直线l的方程.
答案:
解:易知直线l存在斜率,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点为(,y0),则x1+x2=1,y1+y2=2y0,
把P、Q坐标代入椭圆方程,得①,,
①-②得,,即=-=-,
又=,
所以=-,解得,,
则直线斜率k=-=1±,
所以直线l方程为:y-1=(1+)(x-1)或y-1=(1-)(x-1),即y=(1+)(x-1)+1或y=(1-)(x-1)+1.解析分析:平方差法:易判断直线存在斜率,设P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点为(,y0),把P、Q坐标代入椭圆方程两式相减,利用斜率公式及中点坐标公式可用y0表示出直线斜率,再用M点坐标及中点的坐标可表示出斜率,从而得到关于y0的方程,解出y0后即可求得斜率,用点斜式即可求得直线方程.点评:本题考查直线与圆锥曲线的位置关系,属中档题,凡涉及弦中点问题可用平方差法解决.