不排水条件下开挖边坡稳定性极限分析 不排水条件下开挖边坡稳定性极限分析
卞 洁1a,1b,裴广龙2,张 飞1a,1b, 高玉峰1a,1b
(1.河海大学 a.岩土力学与堤坝工程教育部重点试验室； b.岩土工程研究所，南京 210098；2.中设设计集团交通设计研究院，南京 210014)
摘 要：为了在初期勘察阶段少量室内和现场试验基础上准确快速地对开挖边坡进行稳定性评价，提出了一种新的边坡稳定性评价方法。基于极限分析上限定理，推导不排水条件下开挖边坡二维稳定性极限分析理论，根据理论公式编程计算，得到不排水条件下开挖边坡稳定系数图表及滑动面变化规律，从而建立不排水条件下开挖边坡稳定性评价方法。结果表明，以极限分析上限定理为依据确定边坡稳定系数和不排水抗剪强度比值的关系、滑动面与限制深度的关系来评价边坡稳定性，其物理意义明确，计算结果客观，相比于极限平衡法和数值分析法，极限分析法更适合于开挖边坡的稳定性评价。
关键词：开挖边坡；极限分析法；边坡稳定系数；不排水抗剪强度；滑动面；限制深度
1 研究背景
我国疆域辽阔，地形环境复杂多样，客观上决定了我国存在大量的自然土质边坡；同时，我国经济发展日新月异，大量的基础设施需要建设及更新，从而产生大量的人工边坡，如高速公路路基边坡、河堤、土坝等。边坡失稳破坏诱发形成的崩塌、滑坡、泥石流以及次生地质灾害，严重危及建(构)筑物的正常使用和人们的生命财产安全[1-3]。
现有常用的边坡稳定性分析方法主要包括极限平衡法、数值分析法及极限分析法。极限平衡法是边坡稳定性分析的传统方法，一直被广泛应用；随着计算机技术的快速发展，数值分析法也被推广应用到三维边坡稳定性分析中；极限分析法以一种理想方式考虑土体的应力-应变关系，同时又避免了数值分析法繁琐的计算，更符合实际情况。Drucker & Prager[4]于1952年最早将基于土体塑性力学理论建立的极限分析法引入到边坡稳定性问题中，边坡的滑动破坏机制采用简单的直线平动机制和圆弧转动机制。Chen等[5-6]采用对数螺旋线的转动破坏机制，建立能量平衡方程得到均质边坡稳定性的上限解。陈祖煜院士等[7-9]用极限分析上限解法通过把滑动土体离散成具有倾斜侧面的条块,并应用最优化方法求解最小安全系数、临界滑裂面和条块侧面，并把这一方法从二维扩展到三维并应用到工程实际中。Gao等[10-11]对Michalowski[12-13]提出的三维转动破坏机制进行了改进，使其可以考虑滑动面通过坡面与坡脚的方式，从而得到了更小的上限解。Lysmer[14]首次将有限元法引用到极限分析中求解岩土问题，有限元法与极限分析法的结合使其求解复杂结果问题成为可能。Sloan[15-16]最早将有限元法与数值分析上、下限法结合起来并求得上、下限解，为塑性极限分析法在工程界的应用作出了极大贡献。
然而由于在极限分析上限定理下建立非均质边坡破坏机制较为困难，所以极限分析法很少用于非均质边坡问题，并且已有非均质边坡稳定性极限分析方法通过大量优化计算给出一系列稳定系数图表，旨在获得稳定性上限解，很少研究不同土性参数与几何参数对边坡潜在滑动面的影响规律。本文基于极限分析方法研究的不足和需要，结合前人已有研究成果，对不排水条件下开挖边坡进行稳定性分析，给出了稳定系数及滑动面随着不同参数的变化情况，从而建立不排水条件下开挖边坡稳定性评价方法。
2 不排水条件下开挖边坡极限分析理论
正常固结的黏性土不排水条件下土体内摩擦角为0(φ = 0)。此时非均质边坡得到简化，可以采用均质边坡圆弧滑动机制，即破坏面为圆弧。只考虑这种情况下不排水抗剪强度(cu)的变化，现假定cu随深度线性变化，即
(1)
式中：cu0为边坡顶层不排水抗剪强度(kPa)；z为土体距离坡顶的距离(m)；k为土体不排水抗剪强度随z的变化率。
根据极限分析的上限定理，当土体重力做的功大于土体内能耗散时边坡就会发生破坏，那么当二者相等时可以求出临界高度的一个上限解。参照Chen[6]的破坏机制建立转动破坏机制，如图1所示。又因为内摩擦角φ = 0，转动破坏机制简化为圆弧滑动机制，即破坏面为一段圆弧。
图1 不排水条件下开挖边坡稳定性破坏机制
Fig.1 Failure mechanism of the excavated slope’s stability under undrained condition
如图1，假设滑动破坏区ABC′C绕旋转中心O做刚体旋转，而对数螺旋面BC′以下土体保持静止，因此BC′面是一个薄层的速度间断面。设边坡的高度为H，土体的深度为dm，基准线OB和OC"的倾角分别为θ0和θh，基准线长度分别为r0和rh，边坡的坡角为β，∠A C′C为β0，AB的长度为L,绕圆心O的角速度为Ω。
对数螺旋面的方程为
(2)
因此，基准线OC′的长度为
(3)
由几何关系可以得到H，L，与θ0，θh的关系，即:
(4)
(5)
把式(4)代入式(5)，化简得
。
(6)
主要求得滑块体ABC′C外力做的功(重力做功)，直接计算十分困难，可以通过间接方法求得，首先分别求扇形OBC
，三角形OBA，三角形ACC
，三角形OAC
区域土体所作的功率为W1，W2，W3，W4,扇形OBC
重力做的功率W1为
。
(7)
式中γ为土体重度。
其中，
(8)
三角形OBA重力做的功率W2为
(9)
其中，
(10)
三角形ACC
重力做的功率W3为
(11)
其中，
(12)
三角形OAC
重力做的功率W4为
(13)
其中，
(14)
则滑动体ABC′C外力做的总功率为
W=W1-W2-W3-W4=
(15)
土体内能耗散发生在BC
断面上，整个断面的总的内部耗散率等于该断面微分面积rdθ/cosφ和不排水抗剪强度cu乘以其切向速度Vcosφ积分得到。所以开挖边坡的内部耗散率为
(16)
将式(1)代入式(16)，经过一系列化简可以得到不排水抗剪强度下的内部耗散率,即
(17)
将式(1)与式(17)联立化简得到开挖边坡无量纲的临界高度表达式，即
(18)
其中变量ck=kH/cu0 。
表1 不排水条件下d/H=1时开挖边坡相邻坡角稳定系数差值
Table 1 Difference of stability coefficient of excavated slope of different gradients under undrained condition(d/H=1)
相邻角度不同不排水抗剪强度比值λck下开挖边坡相邻坡角稳定系数差值0.00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.030°～45°1.411.972.583.213.854.505.165.826.487.147.8145°～60°0.631.111.572.022.472.903.353.794.224.675.1060°～75°0.681.011.321.621.912.202.472.753.023.303.5875°～90°0.520.680.851.001.161.331.481.641.821.962.11
表2 不排水条件下d/H = 2时开挖边坡相邻坡角稳定系数差值
Table 2 Difference of stability coefficient of excavated slope of different gradients under undrained condition(d/H=2)
相邻角度不同不排水抗剪强度比值λck下开挖边坡相邻坡角稳定系数差值0.00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.030°～45°0.171.332.052.753.434.124.805.486.026.827.5145°～60°0.391.111.572.022.462.913.353.794.234.685.1060°～75°0.681.041.391.732.082.402.763.103.433.774.0975°～90°0.731.031.321.601.892.192.452.733.013.293.57
3 不排水条件下开挖边坡稳定系数图表分析
采用极限分析上限解法对边坡稳定性进行评价，比较常用的方法是稳定图表法。图表法可以避免繁琐的迭代，快速地计算边坡安全系数，便于实际应用，但是传统稳定图表法并不能反映滑动面的变化情况。本文采用极限分析上限解法，通过编程计算，求得开挖边坡的最小上限解绘制稳定系数图，进而对开挖边坡进行全面的评价。
稳定系数图以不排水抗剪强度比值λck(λck=kHF/cu0)为横坐标，稳定系数Nk(Nk= γHF/cu0)为纵坐标，其中F为边坡安全系数，F=c/cd，cd为边坡临界状态下的黏聚力。当安全系数F=1.0时，稳定系数Nk= γH/cu0，即文中式(18)，又可以称作无量纲的临界高度，可以用于计算边坡安全开挖的临界高度，为了保持前后一致，将其统一修改为Nk= γHF/cu0。根据前人实践经验数据分析，λck取值范围为0～5之间。
通过大量的计算，绘制坡角β = 30
，45
，60
，75
，90
时的稳定系数图表，如图2、表1和表2。
图2 不排水条件下开挖边坡稳定系数
Fig.2 Stability coefficients of excavation slope of varying gradients under undrained condition
从图2中可以看出：当不排水抗剪强度比值λck= 0时, 不同坡角间稳定系数差距非常小；随着λck的增大,稳定系数呈线性增大；当λck为定值时，随着坡角的增大，相邻坡角稳定系数之间差值越来越小，即坡角对边坡稳定性影响越来越小,具体稳定系数差值如表1和表2所示；限制深度的改变对其不排水条件下稳定系数影响不大，特别是当β>45
时2条稳定直线随着λck几乎是重合的。
4 不排水条件下开挖边坡最危险滑动面变化规律
最危险滑动面是评价非均质边坡稳定性的一个重要的指标，本文给出了在限制深度dm/H= 1和2，坡角β= 30
，45
，60
，90
，λck=0，0.5，1.0，5.0时开挖边坡最危险滑动面的位置分布图，分别见图3和图4。
图3 不排水条件下开挖边坡限制深度d/H = 1时 最危险滑动面
Fig.3 Sliding surfaces of excavated slope under undrained condition when d/H= 1
图4 不排水条件下开挖边坡限制深度d/H=2时 最危险滑动面图
Fig.4 Sliding surfaces of excavated slope under undrained condition when d/H=2
从图3可以看出：当坡角β= 30
时，随着λck的增大，临界滑动面几乎重合没有变化，此时λck对临界边坡滑动面并没有影响；当坡角β= 45
和60
时，随着λck的增大，临界滑动面逐渐向坡面靠近，但是这种变化趋势并不明显；当坡角β= 90
时，λck= 0.5，1.0，5.0时临界滑动面是重合的，比λck= 0时更靠近坡面。总的来说，在不排水条件下，限制深度d/H = 1时边坡临界滑动面变化不明显，但是其变化也表现出一定的规律性，即边坡全部发生坡趾破坏，且随着λck的增大临界滑动面逐渐向坡面靠近。
从图4中可以看出：不排水条件下，限制深度d/H=2时，最危险滑动面变化情况与d/H=1时有一定差别，特别是当坡角β=30
和45
时差别非常明显，λck=0时滑动面非常大，滑动深度也相对较深，此时发生坡底破坏，λck=0.5，1.0，5.0时发生坡趾破坏，并且随着λck的增大，临界滑动面逐渐向坡面靠近；当坡角β=60
和90
时，边坡临界滑动面都是坡趾破坏，且随着λck增大滑动面逐渐靠近坡面，但这种趋势随着坡角增大逐渐减小。
5 结 论
基于极限分析上限定理，推导不排水条件下开挖边坡二维稳定性极限分析理论，结合前人已有研究成果，给出了随着不同参数的变化稳定系数及滑动面变化情况，从而建立不排水条件下开挖边坡稳定性评价方法，得出结论如下。
(1) 基于极限分析定理建立的不排水条件下开挖边坡二维稳定性极限分析理论，其物理意义明确，计算结果客观，相比于其它方法，极限分析法更适合于开挖边坡的稳定性评价。
(2) 对于开挖边坡不排水条件下稳定系数图，在坡角一定时，稳定系数(Nk= γHF/cu0)随着不排水抗剪强度比值(λck=kHF/cu0)的增大呈近似线性增大，且当不排水抗剪强度比值为定值时，随着坡角的增大，稳定系数逐渐降低，限制深度对开挖边坡的影响较小。
(3) 对于开挖边坡在不排水条件下最危险滑动面图，随着不排水抗剪强度比值的增大，最危险滑动面深度逐渐变浅，滑动面有逐渐向坡面靠近的趋势，这种趋势与限制深度无关，在坡角较小时更为明显；限制深度的改变对于坡度较缓的边坡影响比较大，边坡滑动面有坡底破坏和坡趾破坏2种情况。
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(编辑：刘运飞)
Limit Analysis of Excavation Slope Stability underUndrained Condition
BIAN Jie1,2,PEI Guang-long3, ZHANG Fei1,2, GAO Yu-feng1,2
(1.Key Laboratory of Ministry of Education for Geomechanics and Embankment Engineering, Hohai University,Nanjing 210098, China；2.Geotechnical Research Institute, Hohai University, Nanjing 210098, China；3.Transportation Design Department, China Design Group Co., Ltd., Nanjing 210014, China)
Abstract：A new slope stability evaluation method is proposed to evaluate the stability of excavation slope accurately and rapidly based on a small amount of indoor and field tests during initial survey. On the basis of the upper bound theorem of limit analysis, a two-dimensional limit analysis expression for the stability of excavation slope under undrained condition is derived. Tables and diagrams of stability coefficient and the variation of sliding surface under undrained condition are obtained and analyzed according to the calculation result. Finally a method of evaluating the stability of excavation slope under undrained condition is established. Results indicate that the relations between stability coefficient and undrained strength ratio, sliding surface and controlling depth can be quantified by upper bound theorem of limit analysis, which is of definite physical meaning and high calculation precision. Compared with limit equilibrium method and numerical analysis method, limit analysis method is more suitable for the evaluation of excavation slope’s stability.
Key words：excavation slope; limit analysis; stability coefficient of slope; undrained shear strength; sliding surface; limit depth
收稿日期：-03-02；
修回日期：-04-25
基金项目：国家重点实验室开放基金项目(YK913004); 国家重点基础研究发展计划项目(CB057901); 水利部公益性行业科研专项项目(01035-03)
作者简介：卞 洁(1992-)，女，江苏盐城人，硕士研究生，主要从事岩土边坡工程方面的研究，(电话)15051877128(电子信箱)hhlxbj@。
doi：10.11988/ckyyb.0166
,34(5):115-119
中图分类号：TU4
文献标志码：A
文章编号：1001-5485()05-0115-05
