欢迎来到百家号“米粉老师说数学”，有关二次函数压轴题的文章，是一系列讲义，我们会把二次函数与几何结合的各类题型变化与分析思路、解题方法、技巧，细细地梳理一遍，当你第一篇开始，坚持到最后一篇时，你一定会惊讶地发现，曾经困扰着你的二次函数中考压轴题，它就在你的脚下!
在初中几何中，“点、角、线”是基础，“三角形全等”是前奏，“三角形相似”是正餐，“圆”是花絮，“特殊四边形”才是压轴，可见特殊四边形在初中几何中的位置，二次函数与几何综合，自然就不会错过这个精彩。今天我们就聊聊二次函数与特殊四边形存在性问题。
一.知识简介
1.知识层面
从几何角度分析，此类题型所涉及到平行四边形的性质、判定及分类讨论。就性质而言，最主要围绕四个性质展开运用：
①平行与角的关系；
②平行与对边的关系；
③对角线平分的关系；
④平行四边形的面积公式。
就分类讨论而言，需掌握两种论证方法：代数论证方法和几何论证方法。
从函数角度分析，除了涉及到以上平行四边形的几何性质外，主要运用以下两点：
①利用“两直线平行K值相等”解决直线表达式问题；
②中点坐标公式解决点的坐标问题。
2.思路层现
越熟悉以上所涉及的知识基础，更能让我们在解决二次函数与平行四边形结合的题型中，更快找到解题思路。
二.范例精讲
例1．（不存在分类讨论）如图，抛物线y=ax+bx+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），过点A的直线相交于另一点D（3，2.5），过点D作DC⊥x轴于点C.
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点P在线段OC上（不与点O、C重合），过P作PN⊥x轴交直线AD于点M，交抛物线于点N，连接CM，求△PCM的面积的最大值；
（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
解析：（1）代入B、D坐标，即可得抛物线解析式为：y=-0.75x+2.75x+1.
（2）运用代数办法，用未知数表示出△PCM的面积，配方求最值。
∵抛物线解析式为：y=-3x/4+11x/4+1，
∴A（0，1），
∴用待定系数法可求得
直线AD的解析式：y=0.5x+1,
设P(t,0),∴M(t,0.5t+1)，
∴PM=0.5t+1,
∵CD⊥x轴,∴PC=3-t,
∴△PCM面积=PC·PM÷2
=(3-t)(0.5t+1)÷2
=-0.25(t-0.5)+25/16
∴△PCM的面积的最大值是25/16.
（3）利用平行四边形对边相等的性质，表示出相应线段长，列方程解答。
∵OP=t,
∴点M、N的横坐标为t，
设M(t,0.5t+1),
N(t,-0.75t+2.75t+1),
∴MN=(-0.75t+2.75t+1)-(0.5t+1)
= -0.75t+2.25x,
∵CD=2.5,
∴如果以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形，
∴MN=CD，
即-0.75t+2.25x=2.5,
∵△<0,∴方程无实数根，
∴不存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形
例2.（存在+几何论证方法） 如图，抛物线y=ax+bx+c(a≠0)交 x 轴于点 A，点 B，交 y 轴于点 E．其中 B 点的坐标为（3，0），OB=3OA，连接 AE，tan∠EAO=3，直线y=-x-1交 x 轴于点 C，交 y 轴于点 D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若 M 是抛物线上不同于点 A、点 B 的另一点，Q 是抛物线对称轴上的点，求以 A、B、M、Q 为顶点的四边形为平行四边形时点 M 的坐标；
（3）若P（x，y）（x>0）是抛物线上一动点，求使△PCD的面积最小时点P的坐标及△PCD面积的最小值
解析：（1）由OB=3OA可得A(1,0),
由tan∠EAO=3可得E(0,3)，
将A、B、E三点坐标代入，
可得抛物线解析式为：y=x-4x+3.
（2）几何论证方法
思路过程：①画出所有存在的图形（一般以两个已知点所在的线段为平行四边形的短边、长边、对角线为依据去画图）；
②运用几何知识；（全等、相似或各图形的几何性质）解题；
③这种方法要求学生有很强的图形感知能力（即能画出所有符合条件的几何图形）
由题可知：
∵点Q在对称轴上，点M在抛物线上，
所以当以A、B、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，只能以AB作为平行四边形的边.
设M(m, m-4m+3),
MQ=|2-m|,
AB=3-1=2.
①如图1, QM=AB=2,即2-m=2,∴m=0,∴M(0,3)
②如图2，QM=AB=2,即m-2=2,∴m=4,∴M(4,3)
∴以 A、B、M、Q 为顶点的四边形为平行四边形时点 M 的坐标为（0，3）、（4，3）
（3）运用点到直线的距离公式解答.（代数论证方法）
例3.（存在+代数论证方法）如图，抛物线与x轴交于A(m,0)、B(n,0)两点，且m<n，与y轴交于点C（0，-4），其中m,n是方程x-4x-12=0的两个根。
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN//BC，交AC于点N，
连接CM，当△CMN的面积最大时，求点M的坐标；
（3）点D(4,k)在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由。
解析：(1)解方程x-4x-12=0可得m=-2,n=6,
即A（-2，0），B（6，0），
设二次函数解析式为交点式:y=a(x+2)(x-6)，
代入C点坐标，
即可得到抛物线的解析式为:y=-x/3-4m/3-4.
（2）△MNC中两个顶点的坐标未知，所以采用补割法求面积更为稳妥。
如图，作NH⊥x轴于点H，
设点M的坐标为(a,0)，
则AM=a+2，AB=8，
∵MN//BC，
∴NH：CO=AM：AB，
即NH：4=(a+2)：8，
∴NH=0.5a+1，
∴S△CMN=S△ACM-S△AMN
=AM·OC÷2-AM·NH÷2
=(a+2)(4-0.5a-1)÷2
=-0.25a+a+3
=-0.25(a-2)+4，
∴当a=2时，
即M点的坐标为（2，0）时，
△CMN的面积有最大值，最大值为4.
（3）代数论证方法
思路过程：①任选平行四边形三个顶点（一般两个已知点，再设第三点坐标），以两两顶点的连线作为平行四边形的对角线，分三种情况分类讨论，运用“对角线互相平行”及中点坐标公式，用字母表示出第四点的坐标；
②根据第四点所在图形的条件解题；
③这种方法不用过多考虑平行四边形的图形，而是通过计算求出点的坐标，所以要求学生有很强的计算能力及很严谨细致的计算习惯
三.思路回顾
从以上几道范例的思路详解及过程步骤详解反映出，当遇到二次函数与平行四边形存在性问题结合的题型时，只要我们能掌握两种平行四边形常见的分类讨论方法和常见的计算方法，牢牢把握住二次函数几何综合题的“总体思路线”，就能做到代数论证方法与几何论证方法的有效结合，面对这类压轴题型也就会迎刃而解。
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