我们前面讲了距离空间、赋范空间，距离空间赋予了两个点之间的距离度量，范数赋予了每个点自身的长度度量，而范数则可以导出距离。本章要讲的内积可以看成是更加统一的定义，因为从内积我们可以导出范数，进而导出距离。因此内积空间是一个“更小”的空间，在此基础上结合完备性我们引出了 Hilbert 空间，后续我们的研究也大多集中在 Hilbert 空间上。
1. 内积空间
定义：
为 上的线性空间，，若满足如下条件
则称
为内积空间。可以用内积定义范数 。若得到的 为 Banach 空间，那么 为Hilbert 空间。
定理：
有（Schwartz 不等式）等号成立 线性相关 或 等号成立 线性相关 或
定理：
，设 ，则 （此定理说明内积为连续映射）。
证明：略。
命题：若
为 上的范数，若 都满足平行四边形等式 ，则存在 上的内积 ，使得
证明：较复杂，略。
例子 1：
不是内积空间，反例比如 ，验证平行四边形等式不成立即可。
例子 2：
不是内积空间，反例如 。
实际上对于空间
，只有在的时候才是内积空间，其余情况均不是内积空间。
对于空间
也只有在的时候才是内积空间。
例子 3：
不是内积空间，反例比如 ，验证平行四边形等式不成立即可(说明找不到合适的内积定义来导出无穷范数)。
类比上面的例子，我们也可以对连续函数定义
范数( 范数)。首先定义内积
同样地，只有在
的时候才是内积空间。
到这里大家基本了解了内积空间的特点，他比一般的赋范空间更严格，度量空间就更不用说了。根据初中的知识，有了内积我们就能计算夹角了，不过这里我们不讲夹角，而是考虑正交和正交补的概念。
小结：这一部分讲了内积运算的定义，并且由内积可以导出范数的定义，但是内积比范数的要求更严格，因此对于某个范数，可以通过验证平行四边形等式来验证其是否可以由内积运算来导出。
2. 正交补与正交投影
内积空间
中，称正交，若 ，记为 。 非空，定义其正交补
命题：
为 的闭集线性子空间。
证明：易证
为线性子空间，然后再用内积的是连续映射证明 为闭集。
这里插入一个最佳逼近元的概念。定义
，若存在 使得 ，那么就称 为最佳逼近元。什么情况下最佳逼近元存在呢？当 为非空紧集的时候， 存在（因为紧集一定是有界闭集）。若 为赋范空间， 为 的有限维线性子空间，则 存在（因为有限维赋范空间都完备， 为闭集）。
定理：
， 为 非空凸子集，且 完备，则 ， 为最佳逼近元，并且有 。
证明：先找到
，证明其为柯西列，由于 完备，得到最佳逼近元的存在性。再由 的凸性质证明唯一性。证毕。
对于线性空间
， 为 的线性子空间，称 为 的直和，若 ，记为
很容易验证
定理：设
为 Hilbert 空间， 为 的闭线性子空间，则
证明：
完备，对 ，，使得 ，并且 。证毕。
定理：设
为 Hilbert 空间， 为 的闭线性子空间，则
证明：略。
上面两条定理当中，只有
是 的闭线性子空间才有如此良好的性质！因为只有闭线性子空间才能认为 是尽可能“丰满”的。举个例子， 中，令 ，那么 为 平面， 为 轴，相比于原始的 扩展到无穷远处了。
推论：设
为 Hilbert 空间， 非空，则
引理：
证明：略。
NOTE：这个引理实际上说明了正交补空间在定义的时候已经是“最大化的”，即使原空间
稍微扩张一点点，其正交补空间仍然保持不变。
设
为 Hilbert 空间， 为 的闭线性子空间，那么对于 ，存在唯一的分解 记 ，称 为从 到 上的正交投影，其有如下性质： 为线性算子； 有界，并且 ，；；。
小结：本小节给出了正交补的定义(1) 不论原空间 如何，正交补空间 总是有一些良好的性质：1）闭线性子空间；2）“最大化的”；
(2) 如果原空间 同时有良好的性质（闭线性子空间），那么他们两个就是对整个空间 的良好分割。
3. 标准正交基
内积空间
中， 为正交集，若 进一步若 中任意元素 ，则称 为标准正交集。
对于一个标准正交序列
，有Bessel 不等式
有了标准正交集的概念，我们很容易联想到正交基。下面列出的正交集的性质都可以类比基，但是随便取一个标准正交集，其并不一定完备，因此二者又有细微的差别。
定理：
为 Hilbert 空间， 为 的标准正交集，那么有 收敛 若 ，则 收敛
证明：由于涉及到无穷级数，因此证明过程中需要首先考虑
的情况，再证明 的时候极限成立。细节略。
如果对于标准正交集
我们有 ，那么称 在 中为完全的。实际上这里很容易联想到完备正交基，我们知道空间中任意一点都可以用基的线性组合来表示，如果 是完全的，那么我们可以有相似的结论。
命题：首先定义
，那么一定有 是至多可数的。
证明：定义
，，只需证明 为至多可数集。
假设
中两两不等的元素可以表示为 ，那么 ，说明 中的元素个数是有限的。证毕。
定理：
为 Hilbert 空间， 为 的标准正交集，则下述命题等价： 为完全的；；
证明：首先用反证法证明
然后考虑 ，令 ， ，容易证明 ，那么就有 ，从而 ，。其余证明可以参考课本。此处省略。
对于内积空间
的一列线性无关元素 ，那么存在一组标准正交序列 使得
其中一种获取方法为Gram-Schmidt 标准正交化方法，即
首先取 然后 上述过程重复进行。
定理：
为 Hilbert 空间， 为 的标准正交集，则存在 为完全标准正交集，
推论：任意 Hilbert 空间均有完全标准正交集。
证明：可以根据有限维空间、无限维可分空间进行讨论，应用 Gram-Schmidt 标准正交化方法即可获得完全标准正交集。
实际上如果我们能构造出来 Hilbert 空间的一组标准正交基，那么对于有限维空间
，其与 等距同构；对于无穷维可分空间，其与 等距同构。
小结：1) 本小节讲到的标准正交集可以用于向量的线性分解表示。
2) 当标准正交集是完全的，那么它实际上就是 Hilbert 空间 的一组标准正交基。这又可以看作是线性空间中 Hamel 基/Schauder 基的更特殊的情况，因为完备的标准正交集要求相互正交，而 Hamel 基和 Schauder 基只要求线性无关。
3) 实际上根据 Gram-Schmidt 标准正交化方法可以由两种基构造出标准正交基。
4. Hilbert 空间上有界线性泛函表示
对于内积空间
，取 ，那么我们可以定义一个线性泛函 ，可以验证 ，并且有 ，因此 。
那么如果反过来，任取
，我们是否能够断言 都可以表示为 的形式呢？可以！这个表示形式如此简洁，以后你会发现这个性质非常有用！但并不是任意赋范空间都可以如此表示，只有 Hilbert 空间有这个良好的性质。
定理(F.Riesz)： 为 Hilbert 空间，则证明：若 ，取若，那么 为 的闭线性子空间，因此有 ，且 。接下来的问题就是如何构造一个函数 让其等于 ？
首先固定 。任给 ，考虑 ，显然有 ，故 ，从而有 下面证明 的唯一性。略。
证毕。NOTE：实际上 是一维空间，也就是 ，因此我们随便从 中取一个向量 乘以一个线性系数就能得到 。
假设
为 上的赋范空间，称 为共轭双线性泛函，若
称其为有界的，若
，使
定义其范数为
定理(F.Riesz)：
为 Hilbert 空间， 为有界共轭双线性泛函，则
证明：首先固定
，只关注 ，即 为有界线性泛函，因此可以 ，使得
现在对
任取，可以得到 ，由于 是有界共轭双线性的，容易验证 为有界线性算子。证毕。
下面如果我们定义
，那么 也是有界共轭双线性算子，并且根据上面的 Riesz 表示定理， 使得 由此我们就导出了伴随算子的定义，我们称 为 的伴随算子，记为 ，并且根据上面的推导过程可以得到伴随算子是唯一的。
伴随算子有以下性质：
例子 1：伴随算子一个最简单的例子就是矩阵。
为 阶方针，使得 ，容易验证
定理：
为 Hilbert 空间， 为一一映射，则 为等距同构，当且仅当
此时称
为 到 的酉算子。
证明：要证明等距同构只需要验证
或者 成立，做一下变换即可证明。证毕。
NOTE：实际上这里可以联想到酉矩阵。
小结：这一小节最核心的内容就是 Riesz 表示定理，即Hilbert 空间上任意有界线性泛函都可以唯一地表示为
