文章目录
前言1.1 度量空间的定义1.2 Ho¨lderH\ddot olderHo¨lder不等式总结前言
好久没有写什么东西了，之前准备写机器学习，但是实在是太长了，望而却步。泛函分析是我非常感兴趣的数学分支，它的高度抽象性使得它似乎潜在于所有的问题之中，虽然每个问题研究对象不同，但是其内在的联系及解决的方法都存在紧密的关联性，而泛函分析抽象出来这种隐含的统一性并进行研究。是不是光听起来就令人兴奋不已，通过学习泛函分析， 在遇到其他复杂问题时，我想应该能让我们用更加抽象、更加统一地眼光来审视它们。btw，鉴于我是工科生出生，所掌握的数学知识也仅限于高数线代概率论，参考用书是由步尚全编著清华大学出版社出版的《泛函分析》，在该书中，作者极力避开了工科生所不具备的数学基础（如lebesgue积分及集合论等）。
和概率论系列笔记一样，该系列只是笔者个人对于泛函分析这门课的浅薄理解，希望读者看到错误能进行批评指正，不吝指教，谢谢！
1.1 度量空间的定义
度量空间之于泛函分析，就如同实数集之于微积分，它是整个泛函分析的基础。高中数学我们便学习过集合——一个或多个元素构成的整体，并且对它十分熟悉。到了大学，学习了线性代数这门课后，我们知道了空间的概念——具有某种特殊结构的集合称为空间，例如紧接着学习的线性空间。其特殊结构就体现在定义了**封闭的加法和数乘（标量乘法），同时满足线性空间的八条公理。**也正是这种特殊结构正对应了“线性”的特点和性质。
类比于线性空间的定义，我们就能很自然地想到，度量空间的定义应该就是给一个空间赋予一个叫做“度量”的特殊结构。事实也确实如此（可见数学其实并不抽象，它的推理过程总是自然而然，符合常识，后续的其他空间概念也都是如此），那么下面我们就给出度量定义的四条公理：
定义1.1.1设XXX为集合，ddd为X×XX\times XX×X上的实值函数，称ddd为XXX上的度量，若ddd满足以下四条公理：
∀x,y∈X，d(x,y)≥0(非负性）\forall x,y\in X，d(x,y)\geq0(非负性）∀x,y∈X，d(x,y)≥0(非负性）若x,y∈X,则d(x,y)=0当且仅当x=y(非退化性)x,y \in X, 则d(x,y)=0 当且仅当 x=y(非退化性)x,y∈X,则d(x,y)=0当且仅当x=y(非退化性)∀x,y∈X,d(x,y)=d(y,x)(对称性)\forall x,y\in X, d(x,y)=d(y,x)(对称性)∀x,y∈X,d(x,y)=d(y,x)(对称性)∀x,y,z∈X,d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)(三角不等式)\forall x,y,z \in X, d(x,y)\leq d(x,z)+d(y,z)(三角不等式)∀x,y,z∈X,d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)(三角不等式)
此时称序对(X,d)(X,d)(X,d)为度量空间（也叫距离空间），简便起见也直接称X为度量空间，d(x,y)d(x,y)d(x,y)称为从x到y的度量，X中的元素称为空间中的点。此外，若Y⊂XY\subset XY⊂X，则d在Y×YY\times YY×Y上的限制d∣Y×Yd|_{Y\times Y}d∣Y×Y为Y的度量，Y称为X的度量子空间。
简单的来看，度量是一个二元函数，从点集映射到实数集，它衡量的是空间中两个点的差距，在欧式空间中最形象的便是“距离”。但是为了更抽象地理解度量的概念，不仅仅局限于习惯的欧氏空间，不过多的依赖欧式距离，而会使用差距这个词（实际上无伤大雅，个人喜好）。
按照差距的理解，我们来分析一下度量的定义。首先非退化性和非负性，两个点最相近也就是完全一样的时候，差距就不存在了，也就是非退化性；而对任意两个不相同的点，总是存在差距的（没有两片完全相同的叶子，hhh)，这就是非负性。对称性很好理解，差距对于衡量的两个点来说是无序的。
最后对于三角不等式的理解，如果用欧式距离的概念来理解，非常简单，小学我们就学过，三角形两边之和大于第三边，当且仅当三点共线时取等。但是我还是想用差距的观点一以贯之，d(x,y)d(x,y)d(x,y)是x、yx、yx、y两点之间的差距，也即如果要通过“改变”xxx使其成为yyy，至少需要直接弥补d(x,y)d(x,y)d(x,y)的差距。而如果我采用间接的方式，先将xxx改变成zzz，再将zzz改变为yyy。倘若zzz是xxx成为yyy的路途中的一个中转站，xxx经过zzz成为yyy的过程并没有走歪路(即距离中的z处在以x、y为端点的线段上的情况)，那么有d(x,y)=d(x,z)+d(z,y)d(x,y)=d(x,z)+d(z,y)d(x,y)=d(x,z)+d(z,y)。然而事实上除了这种情况，在xxx成为zzz的过程中必然会引入一些“偏离yyy"的新的差距——我们称之为δ\deltaδ（从某种程度上来说，δ\deltaδ与x、yx、yx、y之间的差距是正交的），δ\deltaδ仅仅是为了使得xxx成为zzz而引入的，而在让zzz成为yyy的过程中又需要去除，那么经过zzz再成为yyy所需要弥补的差距就是2δ+d(x,y)2\delta+d(x,y)2δ+d(x,y)（也可能xxx到zzz的过程中甚至会"远离"yyy，那样就会比该式更大，对应下图即是钝角三角形的情况，读者可自行想像），δ\deltaδ也是对差距的度量，同样具有非负性，于是就有了d(x,y)<d(x,z)+d(z,y)d(x,y)<d(x,z)+d(z,y)d(x,y)<d(x,z)+d(z,y)。通过下面这张图，可以帮助理解我所说的从xxx到yyy的转变过程及δ\deltaδ的含义：
这样，我们就分析完了度量空间的定义，总结就是，我们希望对空间中的点描述其之间的差距，所以引入了度量，从而构成了度量空间。后续我们希望能够通过更多维度对空间中的点进行更为丰富地描述，也就会定义更多的特殊结构，及包含这些结构的新的空间。
下面举一个简单的度量空间的例子：
设XXX为集合，x,y∈Xx,y\in Xx,y∈X，定义d(x,y)={0,x=y1,x≠yd(x,y)=\left\{\begin{matrix} 0,& x=y & \\ 1,& x\neq y& \end{matrix}\right.d(x,y)={0,1,x=yx=y
要验证该ddd是度量，只要将度量的四条公理依次进行验证即可。
1：由ddd的定义可知d(x,y)≥0d(x,y)\geq0d(x,y)≥0恒成立。
2：由ddd的定义可知d(x,y)=0d(x,y)=0d(x,y)=0只有当x=yx=yx=y时成立。
3：由ddd的定义可知d(x,y)=d(y,x)d(x,y)=d(y,x)d(x,y)=d(y,x)
4：若x=yx=yx=y，则三角不等式d(x,y)=0≤d(x,z)+d(y,z)d(x,y)=0\leq d(x,z)+d(y,z)d(x,y)=0≤d(x,z)+d(y,z)显然成立；若x≠yx\neq yx=y，则z=x=yz=x=yz=x=y不成立，则三角不等式d(x,y)=1≤d(x,z)+d(y,z)d(x,y)=1\leq d(x,z)+d(y,z)d(x,y)=1≤d(x,z)+d(y,z)仍然成立。
由此，上述空间确实是一个度量空间，该度量被称为XXX上的离散度量。
1.2 Ho¨lderH\ddot olderHo¨lder不等式
在介绍大名鼎鼎的Ho¨lderH\ddot olderHo¨lder不等式之前，我们先来看下面这个度量空间的例子：
设1≤p<∞1\leq p<\infty1≤p<∞，称数列x={xn}x=\{x_n\}x={xn}为ppp阶可和数列，若下式成立：
Σn=1∞∣xn∣p<∞\Sigma_{n=1}^\infty|x_n|^p<\inftyΣn=1∞∣xn∣p<∞
我们用lp\mathcal{l}^plp表示所有ppp阶可和数列构成的集合，对于x,y∈lpx,y\in \mathcal{l}^px,y∈lp，定义
dp(x,y)=(Σn=1∞∣xn−yn∣p)1/pd_p(x,y)=(\Sigma_{n=1}^\infty|x_n-y_n|^p)^{1/p}dp(x,y)=(Σn=1∞∣xn−yn∣p)1/p
首先该度量定义有界：
首先由绝对值不等式有：
Σn=1∞∣xn−yn∣p<Σn=1∞(∣xn∣+∣yn∣)p\Sigma_{n=1}^\infty|x_n-y_n|^p<\Sigma_{n=1}^\infty(|x_n|+|y_n|)^pΣn=1∞∣xn−yn∣p<Σn=1∞(∣xn∣+∣yn∣)p
再对其进行∣xn∣+∣yn∣≤2max{∣xn∣,∣yn∣}|x_n|+|y_n|\leq2max\{|x_n|,|y_n|\}∣xn∣+∣yn∣≤2max{∣xn∣,∣yn∣}的放缩：
(Σn=1∞(∣xn∣+∣yn∣)p≤2pΣn=1∞max{∣xn∣p,∣yn∣p}(\Sigma_{n=1}^\infty(|x_n|+|y_n|)^p\leq2^p\Sigma_{n=1}^\infty max\{|x_n|^p,|y_n|^p\}(Σn=1∞(∣xn∣+∣yn∣)p≤2pΣn=1∞max{∣xn∣p,∣yn∣p}
最后再进行max{∣xn∣,∣yn∣}≤∣xn∣+∣yn∣max\{|x_n|,|y_n|\}\leq|x_n|+|y_n|max{∣xn∣,∣yn∣}≤∣xn∣+∣yn∣的放缩得：
2pΣn=1∞max{∣xn∣p,∣yn∣p}≤2pΣn=1∞(∣xn∣p+∣yn∣p)<∞2^p\Sigma_{n=1}^\infty max\{|x_n|^p,|y_n|^p\}\leq 2^p\Sigma_{n=1}^\infty(|x_n|^p+|y_n|^p)<\infty2pΣn=1∞max{∣xn∣p,∣yn∣p}≤2pΣn=1∞(∣xn∣p+∣yn∣p)<∞
现在看它是否满足度量四条公理，前三条显然满足，不再赘述，第四条三角不等式就不太能够轻易验证了，我们暂且将它搁置，等我们介绍完Ho¨lderH\ddot olderHo¨lder不等式，再来证明就非常简单了。
定理1.1.1Ho¨lderH\ddot olderHo¨lder不等式
设<1p,q<∞<1p,q<\infty<1p,q<∞且1/p+1/q=11/p+1/q=11/p+1/q=1(此时称p,qp,qp,q互为共轭指数)，x={xn}∈lp,y={yn}∈lpx=\{x_n\}\in \mathcal{l}^p,y=\{y_n\}\in \mathcal{l}^px={xn}∈lp,y={yn}∈lp.则{xnyn}∈l1\{x_ny_n\}\in\mathcal{l}^1{xnyn}∈l1,且有：
Σn=1∞∣xnyn∣≤(Σn=1∞∣xn∣p)1/p(Σn=1∞∣yn∣q)1/q\Sigma_{n=1}^{\infty}|x_ny_n|\leq(\Sigma_{n=1}^{\infty}|x_n|^p)^{1/p}(\Sigma_{n=1}^{\infty}|y_n|^q)^{1/q}Σn=1∞∣xnyn∣≤(Σn=1∞∣xn∣p)1/p(Σn=1∞∣yn∣q)1/q
证明下次再写吧，今天先到这，嘿嘿
