主成分分析法 (Principal Component Analysis, PCA) 是一种数据压缩法，可以从数据中提取重要的部分并排除不重要的部分，是奇异值分解 (Singular Value Decomposition, SVD) 的重要应用。
SVD 是线性代数的一个亮点。
是一个 的列阵，矩阵秩 ， SVD 会提供四个子空间的正交基，按重要性排序。我们有两组奇异向量， 在 里， 在 里，把 排列在 矩阵 ，把 排列在 矩阵 。
SVD 不但找出正交基，还把
对角化成 ， ， 和 的大小一样 ，所以不一定是个方阵，可能右边和下边有零。但是我们可以丢掉零空间和左零空间的基向量，在 里， 是个 的方阵， 从大排到小。
SVD 是
， 和 是正交矩阵，有旋转作用。 是对角矩阵，有伸展作用。SVD 把 的变换分解成旋转、伸展、旋转。是 的特征向量，叫左奇异向量。 是 的特征向量，叫右奇异向量。 和 有共同的特征值 ，都是 的奇异值平方。用手的话可以用这个方法，但如果是很大的矩阵，要用计算机分解的话，我们不想乘 和 ，太浪费计算力，最好直接用 svd() 。
现在我们要把数据带到实数空间，所以只能有数字，不能有分类数据。（其实我觉得不应该叫“数据”，因为“分类数据”根本就没有数字。）表格中，一行代表一条记录，一列代表一个特征。
表格里行比列多，每一列都减掉平均值，转换成矩阵，
是又高又细的、中心化好的矩阵，样本协方差矩阵是 ， 的理由是求无偏估计。总方差是 的跡（对角线的和），等于 的特征值的和，也等于 的奇异值平方的和， 。
重要的是右奇异向量，
指向第 重要的方向，解释总方差的 部分。我们选 个最重要的 ， 是主成分，我们只保留 的信息，降低了维数。
用 python 来实践一下吧，用 iris 数据，中心化，做 svd() ，奇异值除以
。 会把数据旋转到最好的方向，如果我们要用二维图表来看的话， ， 会变成 轴， 会变成 轴，丢掉 。我们用行向量，所以旋转做 就可以了，如果有一个行向量 ，就做 。
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom sklearn import datasetsfrom itertools import combinations# 准备数据iris = datasets.load_iris()# 四维数据分六个二维图表显示fig, axes = plt.subplots(2, 3)axes = axes.ravel()for i, (x, y) in enumerate(combinations(range(4), 2)):axes[i].scatter(iris.data[:50, x], iris.data[:50, y],label=iris.target_names[0])axes[i].scatter(iris.data[50:100, x], iris.data[50:100, y],label=iris.target_names[1])axes[i].scatter(iris.data[100:, x], iris.data[100:, y],label=iris.target_names[2])axes[i].legend()axes[i].set_xlabel(iris.feature_names[x])axes[i].set_ylabel(iris.feature_names[y])plt.show()# 做 SVDA = iris.data - iris.data.mean(axis=0)U, S, VT = np.linalg.svd(A, full_matrices=False)S /= np.sqrt(A.shape[1] - 1)print('如果从四维降到二维，会保留总方差的 {:.2%}。'.format((S**2)[:2].sum() / (S**2).sum()))# 从四维降到二维后图表显示A_t = (A @ VT.T)[:, :2]plt.scatter(A_t[:50, 0], A_t[:50, 1], label=iris.target_names[0])plt.scatter(A_t[50:100, 0], A_t[50:100, 1], label=iris.target_names[1])plt.scatter(A_t[100:, 0], A_t[100:, 1], label=iris.target_names[2])plt.legend()plt.xlabel(r'$vec v_1$')plt.ylabel(r'$vec v_2$')plt.show()
四维数据，需要用六个二维图表来看，但这些都是截面，仍然不能想象四维空间里的样子。
从四维降到二维后，保留 97.77% 的信息。
PCA 的功能就是压缩数据，同时保留最重要的信息。在数据分析的领域里，我们可以用它来降维。高维不仅对我们的想象力造成劳损，对建模也是一种诅咒，在这里主成分分析法是一个很有用的降维技巧。
