参考书籍：《自动控制原理》(第七版).胡寿松主编.
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1.系统的设计与校正问题
1.1 性能指标
校正：在系统中加入一些其参数可以根据需要而改变的机构或装置，使系统整个特性发生变化，从而满足给定的各项性能指标；
在控制系统设计中，采用的设计方法一般依据性能指标的形式而定
如果性能指标以单位阶跃响应的峰值时间、调节时间、超调量、阻尼比、稳态误差等时域特征量给出，一般采用时域法校正；如果性能指标以系统的相角裕度、幅值裕度、谐振峰值、闭环带宽、静态误差系数等频域特征量给出，一般采用频率法校正；
二阶系统频域指标与时域指标的关系：
谐振峰值：
Mr=12ζ1−ζ2，ζ≤0.707(1)M_r=\frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}}，\zeta≤0.707\tag{1} Mr=2ζ1−ζ21，ζ≤0.707(1)
谐振频率：
ωr=ωn1−2ζ2，ζ≤0.707(2)\omega_r=\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2}，\zeta≤0.707\tag{2} ωr=ωn1−2ζ2，ζ≤0.707(2)
带宽频率：
ωb=ωn1−2ζ2+2−4ζ2+4ζ4(3)\omega_b=\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2+\sqrt{2-4\zeta^2+4\zeta^4}}\tag{3} ωb=ωn1−2ζ2+2−4ζ2+4ζ4(3)
截止频率：
ωc=ωn1+4ζ4−2ζ2(4)\omega_c=\omega_n\sqrt{\sqrt{1+4\zeta^4}-2\zeta^2}\tag{4} ωc=ωn1+4ζ4−2ζ2(4)
相角裕度：
γ=arctan2ζ1+4ζ4−2ζ2(5)\gamma=\arctan\frac{2\zeta}{\sqrt{\sqrt{1+4\zeta^4}-2\zeta^2}}\tag{5} γ=arctan1+4ζ4−2ζ22ζ(5)
超调量：
σ%=e−πζ/1−ζ2×100%(6)\sigma\%=e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}\times{100\%}\tag{6} σ%=e−πζ/1−ζ2×100%(6)
调节时间：
ts=3.5ζωn(Δ=5%)或ts=4.4ζωn(Δ=2%)(7)t_s=\frac{3.5}{\zeta\omega_n}(\Delta=5\%)或t_s=\frac{4.4}{\zeta\omega_n}(\Delta=2\%)\tag{7} ts=ζωn3.5(Δ=5%)或ts=ζωn4.4(Δ=2%)(7)
高阶系统频域指标与时域指标的关系：
谐振峰值：
Mr=1∣sinγ∣(8)M_r=\frac{1}{|\sin\gamma|}\tag{8} Mr=∣sinγ∣1(8)
超调量：
σ=0.16+0.4(Mr−1)，1≤Mr≤1.8(9)\sigma=0.16+0.4(M_r-1)，1≤M_r≤1.8\tag{9} σ=0.16+0.4(Mr−1)，1≤Mr≤1.8(9)
调节时间：
ts=K0πωc(Δ=5%)(10)t_s=\frac{K_0\pi}{\omega_c}(\Delta=5\%)\tag{10} ts=ωcK0π(Δ=5%)(10)
K0=2+1.5(Mr−1)+2.5(Mr−1)2，1≤Mr≤1.8(11)K_0=2+1.5(M_r-1)+2.5(M_r-1)^2，1≤M_r≤1.8\tag{11} K0=2+1.5(Mr−1)+2.5(Mr−1)2，1≤Mr≤1.8(11)
1.2 系统带宽的确定
在控制系统实际运行中，输入信号一般是低频信号，噪声信号一般是高频信号；
为了使系统能够准确复现输入信号，要求系统具有较大的带宽；从抑制噪声角度看，又不希望系统的带宽过大；
一个设计良好的实际运行系统，其相角裕度具有45°左右的数值；过低于此值，系统的动态性能较差，且对参数变化的适应能力较弱；过高于此值，意味着对整个系统及其组成部件要求较高，造成实现上的困难，或因此不满足经济性要求；同时由于稳定程度过好，造成系统动态过程缓慢；
如果输入信号的带宽为0～ωM0～\omega_M0～ωM，噪声信号集中起作用的频带为ω1～ωn\omega_1～\omega_nω1～ωn，则控制系统的带宽频率通常取
ωb=(5～10)ωM(12)\omega_b=(5～10)\omega_M\tag{12} ωb=(5～10)ωM(12)
且使ω1～ωn\omega_1～\omega_nω1～ωn处于0～ωb0～\omega_b0～ωb范围外；
1.3 校正方式
按照校正装置在系统中的连接方式，控制系统校正方式分为：串联校正、反馈校正、前馈校正和复合校正；
串联校正：装置一般接在误差测量点后放大器前，串接于系统前向通道之中；反馈校正：装置接在系统局部反馈通路之中；
前馈校正(顺馈校正)：在系统主反馈回路之外采用的校正方式；前馈校正装置接在系统给定值后及主反馈作用点前的前向通道上；
图(a)：这种校正装置作用相当于对给定值信号进行整形或滤波后，再送入反馈系统，因此亦称前置滤波器；图(b)：这种校正装置接在系统可测扰动作用点与误差测量点之间，对扰动信号进行直接或间接测量，经变换后接入系统，形成一条附加的对扰动影响进行补偿的通道；
复合校正：在反馈控制回路中，加入前馈校正通路，组成一个有机整体，结构如下图两种形式。
控制系统设计中，常用的校正方式为：串联校正、反馈校正和前馈校正；
在直流控制系统中，由于传递直流电压信号，宜采用串联校正；在交流载波控制系统中，如果采用串联校正，一般应接在解调器和滤波器后，否则由于参数变化和载频漂移，校正装置的工作稳定性很差；
串联校正装置分为：无源和有源两类；
无源：无源串联校正装置通常由RC无源网络构成，结构简单，成本低廉，但会使信号在变换过程中产生幅值衰减，且其输入阻抗较低，输出阻抗较高，因此常常需要附加放大器，以补偿其幅值衰减，并进行阻抗匹配；为了避免功率损耗，无源串联校正装置通常安置在前向通路中能量较低的部位上；有源：有源串联校正装置由运算放大器和RC网络组成，其参数可以根据需要调整，在工业自动化设备中，常采用由电动(或气动)单元构成的PID控制器，由比例单元、微分单元、积分单元组合而成，可以实现各种要求的控制规律；
反馈信号通常由系统输出端或放大器输出级供给，信号是从高功率点传向低功率点；
1.4 基本控制规律
比例(PPP)控制规律
具有比例控制规律的控制器，称为P控制器，KpK_pKp称为P控制器增益；P控制器实质是一个具有可调增益的放大器；在信号变换过程，只改变信号的增益而不影响其相位；在串联校正中，加大控制器增益KpK_pKp，可以提高系统的开环增益，减小系统稳态误差，从而提高系统的控制精度，但会降低系统的相对稳定性，甚至可能造成闭环系统不稳定；
比例-微分(PD)控制规律
具有比例-微分控制规律的控制器，称为PD控制器；
输出m(t)m(t)m(t)与输入e(t)e(t)e(t)的关系：
m(t)=Kpe(t)+Kpτde(t)dt(13)m(t)=K_pe(t)+K_p\tau\frac{de(t)}{dt}\tag{13} m(t)=Kpe(t)+Kpτdtde(t)(13)
其中：KpK_pKp为比例系数；τ\tauτ为微分时间常数；Kp、τK_p、\tauKp、τ均可调；
PD控制器中的微分控制规律，能反映输入信号的变化趋势，产生有效的早期修正信号，以增加系统的阻尼程度，从而改善系统的稳定性；
在串联校正时，可使系统增加一个−1/τ-1/\tau−1/τ的开环零点，使系统的相角裕度提高，有助于系统动态性能的改善；
实例分析：
Example1：设比例-微分控制系统如下图所示，试分析PD控制器对系统性能的影响。
解：
无PD控制器时，系统闭环特征方程为：
Js2+1=0Js^2+1=0 Js2+1=0
系统阻尼比等于0，其输出c(t)c(t)c(t)具有不衰减的等幅振荡形式，系统处于临界稳定状态，即实际不稳定状态；
接入PD控制器后，闭环系统特征方程为：
Js2+Kpτs+Kp=0Js^2+K_p\tau{s}+K_p=0 Js2+Kpτs+Kp=0
阻尼比为：ζ=τKp/(2J)>0\zeta=\tau\sqrt{K_p}/(2\sqrt{J})>0ζ=τKp/(2J)>0，闭环系统稳定；
PD控制器提供系统的阻尼程度通过参数Kp、τK_p、\tauKp、τ来调整；
注：微分控制作用只对动态过程起作用，对稳态过程没有影响，且对系统噪声非常敏感；
积分(I)控制器
具有积分控制规律的控制器称为I控制器；
I控制器的输出信号m(t)m(t)m(t)与其输入信号e(t)e(t)e(t)的积分成正比，
m(t)=Ki∫0te(t)dt(14)m(t)=K_i\int_{0}^te(t)dt\tag{14} m(t)=Ki∫0te(t)dt(14)
其中：KiK_iKi为可调系数；
由于I控制器的积分作用，当其输入e(t)e(t)e(t)消失后，输出信号m(t)m(t)m(t)有可能是一个不为零的常量；
在串联校正时，采用I控制器可以提高系统的型别，有利于系统稳态性能的提高，但积分控制使系统增加了一个位于原点的开环极点，使信号产生90°的相角滞后，对系统的稳定性不利；
比例-积分(PI)控制规律
具有比例-积分控制规律的控制器称为PI控制器；
PI控制器输出信号m(t)m(t)m(t)同时成比例地反映输出信号e(t)e(t)e(t)及其积分，有：
m(t)=Kpe(t)+KpTi∫0te(t)dt(15)m(t)=K_pe(t)+\frac{K_p}{T_i}\int_0^te(t)dt\tag{15} m(t)=Kpe(t)+TiKp∫0te(t)dt(15)
其中：KpK_pKp为可调比例系数；TiT_iTi为可调积分时间常数；
串联校正时，PI控制器相当于在系统中增加一个位于原点的开环极点，同时增加了一个位于sss左半平面的开环零点；位于原点的极点可以提高系统的型别，以消除或减小系统的稳态误差，改善系统的稳态性能；增加的负实零点用来减小系统的阻尼程度，缓和PI控制器极点对系统稳定性及动态过程产生的不利影响；
在控制工程中，PI控制器主要用来改善系统的稳态性能；
实例分析：
Example2：设比例-积分控制系统如下图所示，其中不可变部分的传递函数为：
G0(s)=K0s(Ts+1)G_0(s)=\frac{K_0}{s(Ts+1)} G0(s)=s(Ts+1)K0
试分析PI控制器对系统稳态性能的改善作用。
解：
系统不可变部分与PI控制器串联后，开环传递函数为：
G(s)=K0Kp(Tis+1)Tis2(Ts+1)G(s)=\frac{K_0K_p(T_is+1)}{T_is^2(Ts+1)} G(s)=Tis2(Ts+1)K0Kp(Tis+1)
系统由原来的Ⅰ型提高的含PI控制器时的Ⅱ型；
若系统的输入信号为斜坡函数r(t)=R1tr(t)=R_1tr(t)=R1t，则在无PI控制器时，系统的稳态误差为R1/K0R_1/K_0R1/K0；接入PI控制器后，系统稳态误差为零；
表明Ⅰ型系统采用PI控制器后，可以消除系统对斜坡输入信号的稳态误差，控制准确度大为改善；
采用PI控制器后，系统特征方程为：
TiTs3+Tis2+KpK0Tis+KpK0=0T_iTs^3+T_is^2+K_pK_0T_is+K_pK_0=0 TiTs3+Tis2+KpK0Tis+KpK0=0
其中：参数T,Ti,K0,KpT,T_i,K_0,K_pT,Ti,K0,Kp都是正数，由劳斯判据可知，调整PI控制器的积分时间常数TiT_iTi使其大于系统不可变部分的时间常数TTT，可以保证闭环系统的稳定性；
比例-积分-微分(PID)控制规律
具有比例-积分-微分控制规律的控制器称为PID控制器；
PID控制器运动方程为：
m(t)=Kpe(t)+KpTi∫0te(t)dt+Kpτde(t)dt(16)m(t)=K_pe(t)+\frac{K_p}{T_i}\int_0^te(t)dt+K_p\tau\frac{de(t)}{dt}\tag{16} m(t)=Kpe(t)+TiKp∫0te(t)dt+Kpτdtde(t)(16)
传递函数：
Gc(s)=Kp(1+1Tis+τs)=KpTi⋅Tiτs2+Tis+1s(17)G_c(s)=K_p(1+\frac{1}{T_is}+\tau{s})=\frac{K_p}{T_i}·\frac{T_i\tau{s^2}+T_is+1}{s}\tag{17} Gc(s)=Kp(1+Tis1+τs)=TiKp⋅sTiτs2+Tis+1(17)
利用PID串联时，可使系统的型别提高一级，还提供两个负实零点；与PI控制器相比，PID控制器具有提供系统的稳态性能优点，还多提供一个负实零点，从而在提高系统动态性能方面，具有更大的优越性；
工业过程控制系统中，广泛使用PID控制器，PID控制器各部分参数的选择在系统现场调试中最后确定；
通常，应使Ⅰ部分发生在系统频率特性的低频段，以提高系统的稳态性能，使D部分发生在系统频率特性的中频段，以改善系统的动态性能；
