向量空间 子空间 列空间 零空间（PartIII）

目录：

vector space （向量空间）subspace space （子空间）由Ax=b理解column space （列空间）由Ax=0理解null space（零空间），求解Ax=0的主变量及特解矩阵的秩（rank）

1. 向量空间

从字面理解，向量所在的空间，即列向量所处的空间维度。

Definition: The space Rn consists of allcolumn vectorsv withncomponents.

性质：向量间相加，向量间的数乘以及线性组合仍然在此空间中。

Rn中用R的原因是向量中每个值都是real number，如果向量中每个值都是复数，那么则用Cn表示n维空间。

例如：

R2=all 2−dim real vector=x-yplane

Here are three vector spaces other than Rn:

M - The vector space of all real 2 by 2 matrices.

F- The vector space of all real functions f(x).

Z - The vector space that consists only of azerovector.

2.子空间

Definition:A subspace of a vector space isa set ofvectors (including 0) that satisfies two requirements: Ifvand w are vectors in the subspace and c is any scalar, then

(i)v+wis in the subspace;

(ii) cv is in the subspace;

The whole space is a subspace (of itself) including：

(1)The whole space.

(2)Every subspace contains thezerovecor;

(3)Lines through the origin are also subspaces;

(4)The single vector (0,0,0);

例如：

R3的子空间：

（直线L） Any line through(0,0,0)

（向量空间R3）The whole space

（平面P） Any plane through(0,0,0)

（零向量Z）The single vector(0,0,0)

子空间性质：属于(inside)向量空间，且其对数乘、向量相加以及线性组合也是封闭的。

3.列空间

Definition: Thecolumn spaceconsists ofall linear combinations f columns. The combinations are all possible vector Ax. They fill the column space C(A).

The system Ax=b is solvable if and only if b is in the column space ofA. If Am∗n is an m∗n matrix, the columns belong to Rm, and the column space of A is a subspace ofRm.

S=set−of−vectors−in−V

SS=all−combinations−of−vectors−in−S

The subspace SS is the ‘span’ of S, containing all combinations of vectors inS.

举例：

A=⎡⎣⎢⎢⎢123411112345⎤⎦⎥⎥⎥

A的列空间是R4的子空间。

Ax=⎡⎣⎢⎢⎢123411112345⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢x1x2x3⎤⎦⎥=⎡⎣⎢⎢⎢b1b2b3b4⎤⎦⎥⎥⎥

什么情况b使方程有解呢？

》》结论：有解情况，当b属于A的列空间时（成为各列线性组合结果时），可求出组合系数x;否则无解。

深入分析： A的列空间属于Rm的子空间。观察各列看是否线性相关。直接的做法就是对A求上三角矩阵U,如果主元的个数与列数n相等，则说明A的各列线性无关。三个位于四维空间的向量，其线性组合应该四维空间的子空间（是过原点(0,0,0,0)的平面或直线）。方程组是否有解取决于b这个向量是否恰好位于平面或直线上。

备注：之前在PartI中向量线性组合时（vector combination）提及组合后向量在空间所占位置。

1）对于一个向量u，线性组合cu是一条线；

2）对于两个向量u和w，线性组合cu+dv张满一个平面；

3）对于三个向量u,v和w,线性组合cu+dv+ew填满一个三维空间。

4.零空间

The NULL space ofA: solving Ax=0

The null space of A consists of all solutions toAx=0. These vectors x are inRn. The null space containing all solutions of Ax=0 isdenoted by N(A).

Special solutions

The nummspace consits of all combinations of the special solutions.

整个解的过程： 把A变成U(上三角矩阵)，再变成R(its reduced formR).

1)Produce zeros above the pivots, by eliminating upward;

2)Produce ones in the pivots, by dividing the whole row by its pivot.

Ax=0,

A=⎡⎣⎢⎢⎢123411112345⎤⎦⎥⎥⎥其零空间为在R3中的线。几个特殊的解其线性组合为一条线，然后其线性组合就构成了方程的解（矩阵A的零空间）。

例子：

A=⎡⎣⎢1232462682810⎤⎦⎥

解： Ax=0—->Ux=0

A−−>⎡⎣⎢100200222244⎤⎦⎥−−>⎡⎣⎢100200220240⎤⎦⎥=U

5.矩阵的秩

秩：矩阵中主元的个数，为矩阵的秩。（number of pivots）

如上例，A的秩为2.当(x2,x4)=(0,1)及(x2,x4)=(1,0)所得的解为特解

x=⎡⎣⎢⎢⎢−2100⎤⎦⎥⎥⎥及⎡⎣⎢⎢⎢−20−21⎤⎦⎥⎥⎥

其也是零空间基（basis）。

解X(A的零空间)：特解的线性组合

零空间矩阵，将所有特解作为列的矩阵。

啰嗦下主变量（Pivot variables）

用r表示主变量的个数，r个主变量，表示整个方程组中只有r个方程起了作用。

对于Am∗n,零空间中考虑的是数量n.

r=2,主变量的数量

n−r=4−2.自由变量的数量

自由变量，故名思议，可以任意取值，取值后的特解的线性组合即为方程组的解（矩阵的零空间）。一般取得是（0或1）。