向量空间

①①①所有向量空间都必须包含零向量，即包含原点。

②②②向量空间中任意向量的数乘、求和运算得到的向量也在该空间中，即向量空间要满足加法封闭和数乘封闭。

③③③向量空间RnR^nRn包含所有的nnn维向量，分量均为实数。

子空间

向量空间的子空间也必须满足加法封闭和数乘封闭，并且也包含零向量。

R2R^2R2的子空间：①R2①R^2①R2本身；②②②过原点的直线；③③③零向量(即原点)；

R3R^3R3的子空间：①R3①R^3①R3本身；②②②过原点的平面；③③③过原点的直线；④④④零向量。

列空间

设A=[132341]A=\begin{bmatrix}1&3\\2&3\\4&1\end{bmatrix}A=⎣⎡​124​331​⎦⎤​，其中各列属于R3R^3R3，那么所有列的所有线性组合构成R3R^3R3的一个子空间，在这里为过原点的一个平面，称该子空间为AAA的列空间，记作C(A)C(A)C(A)。如果AAA的两列共线，则列空间为一条直线。

构造矩阵列空间的方法：取出各列，然后线性组合，则所有的线性组合构成列空间。

假设PPP为三维空间中过原点的平面，LLL为过原点的直线(LLL不在PPP内)，P、LP、LP、L都为子空间，而P∪LP∪LP∪L不是子空间，因为加法不封闭，P∩LP∩LP∩L是子空间，因为只含零向量。一般情况下，若S、TS、TS、T均为子空间，则S∩TS∩TS∩T也为子空间。

Ax=bAx=bAx=b并不是对任意的bbb都有解，只有bbb属于AAA的列空间时才有解。例如：

Ax=[112213314415][x1x2x3]=[b1b2b3b4]Ax=\begin{bmatrix}1&1&2\\2&1&3\\3&1&4\\4&1&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\\b_4\end{bmatrix} Ax=⎣⎢⎢⎡​1234​1111​2345​⎦⎥⎥⎤​⎣⎡​x1​x2​x3​​⎦⎤​=⎣⎢⎢⎡​b1​b2​b3​b4​​⎦⎥⎥⎤​

AAA的三个列向量的线性组合无法充满整个四维空间，所以可能有些bbb不是这三个列向量的线性组合。

在AAA中，其实第三列可以去掉，是前两列的线性组合，对结果没有影响。

零空间

AAA的零空间为Ax=0Ax=0Ax=0中所有的解xxx组成的集合，记作N(A)N(A)N(A)。不管AAA是什么矩阵，其零空间必然含有零向量。例如：

Ax=[112213314415][x1x2x3]=[0000]Ax=\begin{bmatrix}1&1&2\\2&1&3\\3&1&4\\4&1&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix} Ax=⎣⎢⎢⎡​1234​1111​2345​⎦⎥⎥⎤​⎣⎡​x1​x2​x3​​⎦⎤​=⎣⎢⎢⎡​0000​⎦⎥⎥⎤​

[000]、[11−1]⋯[cc−c]\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}、\begin{bmatrix}1\\1 \\ -1\end{bmatrix}\cdots\begin{bmatrix}c\\c \\ -c\end{bmatrix}⎣⎡​000​⎦⎤​、⎣⎡​11−1​⎦⎤​⋯⎣⎡​cc−c​⎦⎤​，即c[11−1]c\begin{bmatrix}1\\1 \\ -1\end{bmatrix}c⎣⎡​11−1​⎦⎤​为AAA的零空间，为三维空间中过原点的直线。

验证：AAA的零空间为子空间。

证明如下：①①①如果Ax=0并且Ay=0Ax=0并且Ay=0Ax=0并且Ay=0，那么A(ax+by)=aAx+bAy=0A(ax+by)=aAx+bAy=0A(ax+by)=aAx+bAy=0，也就是说vvv和www都在零空间，那么其和vvv和www的线性组合也在零空间内。②②②如果Av=0Av=0Av=0，那么A(av)=aAv=0A(av)=aAv=0A(av)=aAv=0，即如果vvv在零空间，那么其数乘avavav也在零空间内。综上所述，零空间满足加法和数乘封闭，并且包含零向量，所以为子空间。

如果Ax=[112213314415][x1x2x3]=[1234]Ax=\begin{bmatrix}1&1&2\\2&1&3\\3&1&4\\4&1&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}Ax=⎣⎢⎢⎡​1234​1111​2345​⎦⎥⎥⎤​⎣⎡​x1​x2​x3​​⎦⎤​=⎣⎢⎢⎡​1234​⎦⎥⎥⎤​，其所有的解构成子空间吗？

答案是否定的，因为解中不包含零向量，这里的解其实为三维空间中不过原点的直线。

构造子空间的两种方法：

①①①取各列的线性组合；

②②②从方程组中通过让xxx满足特定条件来得到子空间。