一元三次方程求解

1. 试根法1.1 尝试x = 1.-1,0,2,-2, 3, -31.2 化为y3+py+q=0y^3+py+q=0y3+py+q=01.3 举例2. Cardano公式

最近开始重新学习Calculus, 所以复习一下数学基础。

对于ax3+bx2+cx+d=0ax^3+bx^2+cx+d = 0ax3+bx2+cx+d=0，方程解的结果一般为三个根，可能有重根或者复数根。共三种解法，前1种适合应试考试，后一种适合任意一元三次求解

1. 试根法

1.1 尝试x = 1.-1,0,2,-2, 3, -3

1.2 化为y3+py+q=0y^3+py+q=0y3+py+q=0

对于式1：ax3+bx2+cx+d=0ax^3+bx^2+cx+d = 0ax3+bx2+cx+d=0，令x=y−b3ax=y-\frac{b}{3a}x=y−3ab​

式1化为式2：y3+py+q=0,其中p=3ac−b23a2,q=27a2d−9abc+2b327a3y^3+py+q=0,其中p=\frac{3ac-b^2}{3a^2},q=\frac{27a^2d-9abc+2b^3}{27a^3}y3+py+q=0,其中p=3a23ac−b2​,q=27a327a2d−9abc+2b3​

y(y2+p)=−q,y(y^2+p)=-q,y(y2+p)=−q,再用根据q的因子凑根

1.3 举例

解x3−3x2−4x+12=0x^3-3x^2-4x+12 = 0x3−3x2−4x+12=0

试用x=3除x3−3x2−4x+12x^3-3x^2-4x+12x3−3x2−4x+12 得到x2−5x+6x^2-5x+6x2−5x+6

故x3−3x2−4x+12=(x−3)(x2−5x+6)=(x−3)(x−2)(x−3)x^3-3x^2-4x+12 = (x-3)(x^2-5x+6) = (x-3)(x-2)(x-3)x3−3x2−4x+12=(x−3)(x2−5x+6)=(x−3)(x−2)(x−3) 得到方程的解 x=3, -2, 2；

或者x3−3x2−4x+12=0→y3−7y+6=0x^3-3x^2-4x+12 = 0 \to y^3-7y+6=0x3−3x2−4x+12=0→y3−7y+6=0 凑得y=2, -3, 1 对应方程的解 x=3, -2, 2

或者

2. Cardano公式

对于式1：ax3+bx2+cx+d=0ax^3+bx^2+cx+d = 0ax3+bx2+cx+d=0，令x=y−b3ax=y-\frac{b}{3a}x=y−3ab​

式1化为式2：y3+py+q=0,其中p=3ac−b23a2,q=27a2d−9abc+2b327a3y^3+py+q=0,其中p=\frac{3ac-b^2}{3a^2},q=\frac{27a^2d-9abc+2b^3}{27a^3}y3+py+q=0,其中p=3a23ac−b2​,q=27a327a2d−9abc+2b3​

由二元三次方程的分解公式3：(u+v)3=3uv(u+v)+(u3+v3)(u+v)^3 = 3uv(u+v)+(u^3+v^3)(u+v)3=3uv(u+v)+(u3+v3), 发现

令y=(u+v)y = (u+v)y=(u+v) , p=−3uvp=-3uvp=−3uv, q=−(u3+v3)q=-(u^3+v^3)q=−(u3+v3)可以把式2转化为式3

你肯定会问：为什么要把式2转化为式3，这对咱么求解x好像越来越远了啊。别急，请接着往下看。

对于 p=−3uv→p−3=uvp=-3uv \to \frac{p}{-3}=uvp=−3uv→−3p​=uv, 然后两边同立方积v3v^3v3得到式4： (p−3)3=(uv)3(\frac{p}{-3})^3=(uv)^3(−3p​)3=(uv)3

对于 q=−(u3+v3)q=-(u^3+v^3)q=−(u3+v3) ，两边同乘v3v^3v3得到式5：qv3=−(u3v3+(v3)2)qv^3=-(u^3v^3+(v^3)^2)qv3=−(u3v3+(v3)2),

用式4的(p−3)3(\frac{p}{-3})^3(−3p​)3代替式5的u3v3u^3v^3u3v3得到式6：qv3=−((p−3)3+(v3)2)qv^3=-((\frac{p}{-3})^3+(v^3)^2)qv3=−((−3p​)3+(v3)2)，

细心的你也许已经发现，用t=v3t=v^3t=v3带入式6即可得到一个以ttt为变量的二元一次方程式7：

t2+qt+(p−3)3=0t^2+qt+(\frac{p}{-3})^3=0t2+qt+(−3p​)3=0

求解式7的通解公式为：v=−q2±(q2)2+(p3)33v= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}\pm\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}v=3−2q​±(2q​)2+(3p​)3​​

同理，u求解过程和v一致，故u, v的通解公式相同，可写为式8：u,v=−q2±(q2)2+(p3)33u,v= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}\pm\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}u,v=3−2q​±(2q​)2+(3p​)3​​

再回到式3，我们已经令y=u+vy = u+vy=u+v，照理说y应该有3个取值，分别为(u,v)取式8中（+,+）、（−,−）、(+,−)三种组合y应该有3个取值，分别为(u,v)取式8中（+,+）、（-,-）、(+,-)三种组合y应该有3个取值，分别为(u,v)取式8中（+,+）、（−,−）、(+,−)三种组合, 但只有$(u,v)取(+,-)组合时，y才是一般解。