一元三次方程求解
1. 试根法1.1 尝试x = 1.-1,0,2,-2, 3, -31.2 化为y3+py+q=0y^3+py+q=0y3+py+q=01.3 举例2. Cardano公式最近开始重新学习Calculus, 所以复习一下数学基础。
对于ax3+bx2+cx+d=0ax^3+bx^2+cx+d = 0ax3+bx2+cx+d=0,方程解的结果一般为三个根,可能有重根或者复数根。共三种解法,前1种适合应试考试,后一种适合任意一元三次求解
1. 试根法
1.1 尝试x = 1.-1,0,2,-2, 3, -3
1.2 化为y3+py+q=0y^3+py+q=0y3+py+q=0
对于式1:ax3+bx2+cx+d=0ax^3+bx^2+cx+d = 0ax3+bx2+cx+d=0,令x=y−b3ax=y-\frac{b}{3a}x=y−3ab
式1化为式2:y3+py+q=0,其中p=3ac−b23a2,q=27a2d−9abc+2b327a3y^3+py+q=0,其中p=\frac{3ac-b^2}{3a^2},q=\frac{27a^2d-9abc+2b^3}{27a^3}y3+py+q=0,其中p=3a23ac−b2,q=27a327a2d−9abc+2b3
y(y2+p)=−q,y(y^2+p)=-q,y(y2+p)=−q,再用根据q的因子凑根
1.3 举例
解x3−3x2−4x+12=0x^3-3x^2-4x+12 = 0x3−3x2−4x+12=0
试用x=3除x3−3x2−4x+12x^3-3x^2-4x+12x3−3x2−4x+12 得到x2−5x+6x^2-5x+6x2−5x+6
故x3−3x2−4x+12=(x−3)(x2−5x+6)=(x−3)(x−2)(x−3)x^3-3x^2-4x+12 = (x-3)(x^2-5x+6) = (x-3)(x-2)(x-3)x3−3x2−4x+12=(x−3)(x2−5x+6)=(x−3)(x−2)(x−3) 得到方程的解 x=3, -2, 2;
或者x3−3x2−4x+12=0→y3−7y+6=0x^3-3x^2-4x+12 = 0 \to y^3-7y+6=0x3−3x2−4x+12=0→y3−7y+6=0 凑得y=2, -3, 1 对应方程的解 x=3, -2, 2
或者
2. Cardano公式
对于式1:ax3+bx2+cx+d=0ax^3+bx^2+cx+d = 0ax3+bx2+cx+d=0,令x=y−b3ax=y-\frac{b}{3a}x=y−3ab
式1化为式2:y3+py+q=0,其中p=3ac−b23a2,q=27a2d−9abc+2b327a3y^3+py+q=0,其中p=\frac{3ac-b^2}{3a^2},q=\frac{27a^2d-9abc+2b^3}{27a^3}y3+py+q=0,其中p=3a23ac−b2,q=27a327a2d−9abc+2b3
由二元三次方程的分解公式3:(u+v)3=3uv(u+v)+(u3+v3)(u+v)^3 = 3uv(u+v)+(u^3+v^3)(u+v)3=3uv(u+v)+(u3+v3), 发现
令y=(u+v)y = (u+v)y=(u+v) , p=−3uvp=-3uvp=−3uv, q=−(u3+v3)q=-(u^3+v^3)q=−(u3+v3)可以把式2转化为式3
你肯定会问:为什么要把式2转化为式3,这对咱么求解x好像越来越远了啊。别急,请接着往下看。
对于 p=−3uv→p−3=uvp=-3uv \to \frac{p}{-3}=uvp=−3uv→−3p=uv, 然后两边同立方积v3v^3v3得到式4: (p−3)3=(uv)3(\frac{p}{-3})^3=(uv)^3(−3p)3=(uv)3
对于 q=−(u3+v3)q=-(u^3+v^3)q=−(u3+v3) ,两边同乘v3v^3v3得到式5:qv3=−(u3v3+(v3)2)qv^3=-(u^3v^3+(v^3)^2)qv3=−(u3v3+(v3)2),
用式4的(p−3)3(\frac{p}{-3})^3(−3p)3代替式5的u3v3u^3v^3u3v3得到式6:qv3=−((p−3)3+(v3)2)qv^3=-((\frac{p}{-3})^3+(v^3)^2)qv3=−((−3p)3+(v3)2),
细心的你也许已经发现,用t=v3t=v^3t=v3带入式6即可得到一个以ttt为变量的二元一次方程式7:
t2+qt+(p−3)3=0t^2+qt+(\frac{p}{-3})^3=0t2+qt+(−3p)3=0
求解式7的通解公式为:v=−q2±(q2)2+(p3)33v= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}\pm\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}v=3−2q±(2q)2+(3p)3
同理,u求解过程和v一致,故u, v的通解公式相同,可写为式8:u,v=−q2±(q2)2+(p3)33u,v= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}\pm\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}u,v=3−2q±(2q)2+(3p)3
再回到式3,我们已经令y=u+vy = u+vy=u+v,照理说y应该有3个取值,分别为(u,v)取式8中(+,+)、(−,−)、(+,−)三种组合y应该有3个取值,分别为(u,v)取式8中(+,+)、(-,-)、(+,-)三种组合y应该有3个取值,分别为(u,v)取式8中(+,+)、(−,−)、(+,−)三种组合, 但只有$(u,v)取(+,-)组合时,y才是一般解。