独立性

很好理解，如果x和y的概率互不影响的话，那么联合分布律就应该为x，y的边缘分布律的乘积

对于F(x,y)和f(x,y)都是一样的——F(x,y)=F(x)* F(y)，f(x,y)=f(x)* f(y)

离散型、连续型

等价——当且仅当、充分必要

需要对于所有的x，y

步骤：

求x和y的边缘函数然后f(x)*f(y)=f(x,y)

这里的 U 表示均匀分布

以上的题目都非常简单，浅看一下即可了🚀🚀🚀

这个了解一下即可，二维正态分布都不太可能考（而且这个内容也能推导出来）

要注意，ρ=0所指代的是二维正态分布中X,Y相互独立

上课的时候有一道题问的是2个正态分布的联合分布是什么？选的是不一定是二维正态分布函数（不一定相互独立），但是有一个选项说的是二维正态分布函数并且ρ=0

例

联合分布的题目，一定要画图，秋梨膏🚗🚗🚗

带绝对值的这种二维，求概率的题目，可以直接用定义来写上课讲的时候，我才真正明白过来像这道题，| X - Y | ≤ 1/12 这种就用二重积分区域会比较简单

画出原来定义域的平面，然后算面积

注意划线部分

二维离散型随机变量函数的分布律

将y换元成 关于 x和z 的表达式

包括后面的都是这么做

泊松分布具有可加性

二项分布具有可加性

注意要 X ， Y 的概率p要相同

二维连续型随机变量函数的概率密度

这里还是需要理解一下的，相当于fz(z)是关于x的f(x,z-x)的边缘概率密度这一句话，现在想想也挺重要的🥨🥨🥨（.10.31期中）

卷积公式要求X,Y相互独立

如上文所说，需要将Y表示成关于 X，z的表达式

二维连续型记住要画图，但是需要先将Y的表达式变换成关于X和z的再画图

例

注意这里是x的取值范围

同样，这道题主要是让注意到应该先将Y换成关于X和z的表达式，再画图

直角坐标系中，原本y轴的地方换成了z轴，到时候自己做题的时候别不会了🚍🚍🚍

关于取值范围，可以像这页一样，对x时取横线，对y取竖线

写出z的取值范围套f(x,z-x)，将Y换成含z的表达式（可能会用到卷积公式）写出x，z的取值范围，并画图代入积分上下限，计算就完毕

正态分布具有可加性

Z=Y/X、Z=X/Y、Z=XY的分布

这个倒是没什么理解的，摁背吧

条件分布也长这样的，可能会和条件概率一起考

听老师讲，考察的不多

M=max(x,y)、N=min(x,y)的分布

注意min(x,y)，要求的是x,y中有一个 ≤ z，所以不是P{x≤z}P{y≤z}

练习（作业）

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注意这个同样是条件概率，满足条件概率的性质没什么好说的注意2重积分

第（3）问，对于多维变量，直接问P{X?Y}的这类题，就是用二重积分相应区域，然后计算

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一定一定自己再写一遍，因为不会写Fx(x)边缘🚇🚇🚇要把y当成+∞，那么Fx(x,∞)就如答案那样

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答案过程不用详细看，看个结果即可建议自己写一下首先，根据定义域画图接着，确定积分上下限列写表达式即可

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拿命说，这题一定一定要重新写一下😭😭😭（你会搞不清楚那个范围的）

根据z的取值范围进行分类讨论，积分上下限是x

注意z≥1时

这道题现在看来还是复杂，真的献丑了🥖🥖🥖

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前2问，老生常谈了，没什么好说的

分布函数，如果写成题目这样的话，要注意：一定要写出什么范围内是0，什么范围内是1

看看第3问，max函数在题目中是怎么样的