矩阵的特征值刻画矩阵的奇异性、反映矩阵所有对角元素的结构、刻画矩阵的正定性，是矩阵的固有属性。

特征问题与特征方程

矩阵的本质是对变换的描述。矩阵的特征值和特征向量刻画了变换的特性。

线性算子的特征值和特征向量

若非零向量 u u 作为线性算子L" role="presentation">LL的输入时，所产生的输入与输出相同，最多相差一个常数因子，即

L[u]=λu,u≠0 L [ u ] = λ u , u ≠ 0

则称向量 u u 是线性算子L" role="presentation">LL的特征向量，称标量 λ λ 为线性算子 L L 的特征值。

矩阵的特征值和特征向量

线性变换若可以表示为w=Ax" role="presentation">w=Axw=Ax，则矩阵 A A 是线性变换的标准矩阵，相应地可以得到矩阵的特征值λ" role="presentation">λλ、特征向量 u u 应该满足

Au=λu,u≠0" role="presentation">Au=λu,u≠0Au=λu,u≠0

可知：

线性变换的特征值和特征向量⇔线性变换的标准矩阵的特征值和特征向量 线 性 变 换 的 特 征 值 和 特 征 向 量 ⇔ 线 性 变 换 的 标 准 矩 阵 的 特 征 值 和 特 征 向 量

物理意义

矩阵 A A 对特征向量u" role="presentation">uu所作的线性变换不改变 u u 的方向，因此线性变换Au" role="presentation">AuAu是保持方向的映射。

Hermitian矩阵(复共轭对称阵)的特征值

Hermitian矩阵的特征值一定是实数，且

A=UΣUH A = U Σ U H

其中， U=[u1,u2,...,un]T U = [ u 1 , u 2 , . . . , u n ] T ， Σ=diag(λ1,...,λn) Σ = d i a g ( λ 1 , . . . , λ n )

特征值和特征向量的求解

求出使得矩阵 A−λI A − λ I 奇异（即行列式为0，矩阵不满秩）的 λ λ ，即为特征值。根据 λ λ 的值，求所有满足 (A−λI)=0 ( A − λ I ) = 0 的非零向量 x x ，即为特征向量

特征多项式

（A−λI）u=0⇔det(A−λI)=0" role="presentation">（A−λI）u=0⇔det(A−λI)=0（A−λI）u=0⇔det(A−λI)=0

定义矩阵A的特征多项式为 det(A−λI)=0 d e t ( A − λ I ) = 0 ,特征多项式的根即为矩阵 A A 的特征值。

定理

任何多项式都可以写成n×n" role="presentation">n×nn×n的矩阵的特征多项式。多项式

p(λ)=λn+a1λn−1+...+an p ( λ ) = λ n + a 1 λ n − 1 + . . . + a n

可以写成 p(λ)=det(λI−A) p ( λ ) = d e t ( λ I − A ) ，其中，

A=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢−a1−10⋮0−a20−1⋮0⋯00⋱⋯−an−100⋮−1−an00⋮0⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(1) (1) A = [ − a 1 − a 2 ⋯ − a n − 1 − a n − 1 0 0 0 0 0 − 1 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ − 1 0 ]

特征值与特征向量

特征值

特征值的一些相关术语：

（1）代数多重度（algebraic multiplicity）：是指 λ λ 是特征方程的几重根。

（2）单特征值（simple eigenvalue）：是指代数多重度为1.

（3）几何多重度（geometric multiplicity）：是指与 λ λ 对应的线性无关的特征向量的个数。也就是特征空间 Null(A−λI) N u l l ( A − λ I ) 的维数。注意，一个特征值可能对应多个线性无关的特征向量。

（4）减次矩阵（derogatory matrix）：是指至少有一个特征值的几何多重度大于1.

（5）半单特征值（semi-simple eigenvalue）：代数多重度等于几何多重度。

性质

性质1矩阵奇异，等价于至少有一个特征值等于0。

这是因为对奇异矩阵，有 Au=0 A u = 0 存在非零解。

性质2矩阵与其转置矩阵的特征值相同。

易得。

性质3λ λ 是 n×n n × n 矩阵 A A 的特征值。

矩阵的幂的特征值等于特征值的幂，即λk" role="presentation">λkλk是 Ak A k 的特征值；

A+σ2I A + σ 2 I 的特征值等于 λ+σ2 λ + σ 2 若A非奇异，则 A−1 A − 1 有特征值 1λ 1 λ

特征向量

左特征向量

Av=λv A v = λ v

右特征向量

uHA=λuH u H A = λ u H

Hermitian矩阵左右特征向量相同。

特征值分解只适用于正方阵。

定理

矩阵 A A 的不同特征值对应的特征向量之间是线性无关的。

矩阵的条件数

任何一个矩阵A的单个特征值的条件数是

cond(λ)=1cos⁡θ(u,v)" role="presentation">cond(λ)=1cosθ(u,v)cond(λ)=1cos⁡θ(u,v)

即左右特征向量的余弦的倒数。

矩阵的行列式、矩阵的迹与特征值的关系

（1）矩阵的迹等于所有特征值之和

tr(A)=∑i=1nλi t r ( A ) = ∑ i = 1 n λ i

（2）矩阵的行列式等于矩阵所有特征值的乘积

det(A)=∏i=1nλi d e t ( A ) = ∏ i = 1 n λ i

矩阵多项式的特征值

A的n次多项式

f(A)=An+c1An−1+...+cn−1A+cnI f ( A ) = A n + c 1 A n − 1 + . . . + c n − 1 A + c n I

的特征值是

f(λ)=λn+c1λn−1+...+cn−1λ+cn f ( λ ) = λ n + c 1 λ n − 1 + . . . + c n − 1 λ + c n

特征值和特征向量的性质总结

n×n n × n 的矩阵一共有 n n 个特征值，多重特征值按照多重度计入。

非对称实矩阵存在复的特征值或者复的特征向量，必定以复共轭对的形式出现

复共轭对称阵（Hermitian matrix）的所有特征值都是实数。

关于对角矩阵和三角矩阵的特征值：

（1）对角阵的特征值为对角元素；

（2）三角阵的对角元素是其所有特征值；

共轭对称

（1）转置：矩阵A的特征值是λ" role="presentation">λλ, 则 λ λ 是其转置矩阵的特征值

（2）共轭：矩阵A的特征值是 λ λ , 则 λ∗ λ ∗ 是其共轭矩阵的特征值

（3） A+σ2I A + σ 2 I 的特征值等于 λ+σ2 λ + σ 2

（4）逆矩阵：若A非奇异，则 A−1 A − 1 有特征值 1λ 1 λ

幂等矩阵

幂等矩阵 A2=A A 2 = A 的所有特征值取值为0或者1

实正交矩阵

所有特征值位于单位圆上

特征值与奇异性

奇异矩阵⇔至少有一个特征值为0 奇 异 矩 阵 ⇔ 至 少 有 一 个 特 征 值 为 0

特征值与矩阵的迹

特征值求和等于矩阵的迹

特征值与行列式

特征值乘积等于行列式

矩阵 A A 的不同特征值对应的特征向量之间是线性无关的。

Hermitian矩阵的正定性

Hermitian矩阵的正定（半正定）⇔所有特征值为正（非负）" role="presentation">Hermitian矩阵的正定（半正定）⇔所有特征值为正（非负）Hermitian矩阵的正定（半正定）⇔所有特征值为正（非负）

特征值与矩阵的秩

（1） n×n n × n 的矩阵有 r r 个非零特征值，则其秩至少为r" role="presentation">rr

（2）若0是 n×n n × n 矩阵A的无多重特征值，则 rank(A)=n−1 r a n k ( A ) = n − 1

（3）若

rank(A−λI)≤n−1 r a n k ( A − λ I ) ≤ n − 1

则 λ λ 是矩阵 A A 的特征值。

这是因为A−λI" role="presentation">A−λIA−λI奇异，所以 (A−λI)u=0 ( A − λ I ) u = 0 存在非零解，所以 λ λ 是特征值。

多重度

n×n n × n 的矩阵的任意特征值的几何多重度不可能大于代数多重度。

乘积的特征值

关于m×n(n≥m) m × n ( n ≥ m )矩阵 A A 与n×m" role="presentation">n×mn×m矩阵 B B 乘积的特征值：

（1）若λ" role="presentation">λλ是矩阵乘积 AB A B 的特征值，则其也是 BA B A 的特征值

（2）若 λ≠0 λ ≠ 0 是矩阵乘积 BA B A 的特征值，则其也是 AB A B 的特征值

（3）若 λ1,λ2,...,λm λ 1 , λ 2 , . . . , λ m 是矩阵乘积 AB A B 的特征值，则 BA B A 的n个特征值为

λ1,λ2,...,λm,0,...,0 λ 1 , λ 2 , . . . , λ m , 0 , . . . , 0

多项式的特征值

如前述

矩阵的指数函数的特征值

矩阵特征值与特征向量对的性质

若 n×n n × n 矩阵 A A 有n" role="presentation">nn个线性无关的特征向量，则 A A 的特征值分解为

A=UΣU−1" role="presentation">A=UΣU−1A=UΣU−1

矩阵奇异值与特征值的关系

矩阵 Am×n A m × n 的非零奇异值等于 AAT A A T 或者 ATA A T A 的非零特征值的正平方根，且对应的左奇异向量与右奇异向量分别是矩阵 AAT A A T 与 ATA A T A 对应的特征向量。

矩阵的可对角化定理

一个n×n的实矩阵A可对角化⇔A具有n个线性无关的特征向量 一 个 n × n 的 实 矩 阵 A 可 对 角 化 ⇔ A 具 有 n 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量A具有n个不同的特征值⇒A可以对角化 A 具 有 n 个 不 同 的 特 征 值 ⇒ A 可 以 对 角 化

注意，即使 A A 有多重根，它仍然可能是可以对角化的。因为它的n个特征向量可能是线性无关的。

广义特征值分解

对于非正方阵，仍然可以求特征值。考虑两个矩阵组成的矩阵对的特征值分解。

广义特征值分解

Au=λBu" role="presentation">Au=λBuAu=λBu

参考文献

《矩阵分析与应用》，张贤达