前段时间看过一些矩阵求导的教程，在看过的资料中，尤其喜欢斯坦福大学CS231n卷积神经网络课程中提到的Erik这篇文章。循着他的思路，可以逐步将复杂的求导过程简化、再简化，直到发现其中有规律的部分。话不多说，一起来看看吧。
撰文 | Erik Learned-Miller
翻译 | 写代码的橘子
来源 | 橘子AI笔记（ID：datawitch）
本文旨在帮助您学习向量、矩阵和高阶张量（三维或三维以上的数组）的求导方法，以及如何求对向量、矩阵和高阶张量的导数。
01. 简化，简化，再简化
在求关于数组的导数时，大部分困惑都源自于我们想要一次同时做好几件事。这“几件事”包括同时对多个元素求导、在求和符号下求导以及应用链式法则。至少在我们积累丰富的经验之前，想要同时做这么多件事情是很容易犯错的。
1.1 写出矩阵中单个元素的表达式
为了简化给定的计算，有一种方法是：写出输出中单个标量元素的表达式，这个表达式只包含标量变量。一旦写出了输出中单个标量元素与其他标量值的表达式，就可以使用标量的微积分求导方法，这比同时进行矩阵的求和、求导要容易得多。
例子假设我们有一个长度为C的列向量
，它是由 行 列的矩阵 与长度为 的向量 计算得到的：
假设我们想求
对 的导数。完整的求导过程需要计算 中的每一个元素对 中的每一个元素的（偏）导数，在这种情况下，我们会算出 个元素，因为 中有 个元素而 中有 个元素。
让我们先从计算其中一个元素开始，比如，
中的第3个元素对 中的第7个元素求导。也就是说，我们要计算
也就是一个标量对另一个标量求导。
在求导之前，我们要先写出
的表达式。根据矩阵-向量乘法的定义，矩阵 的第3行与向量 的点积就是 的值。
此时，我们已经将原始矩阵方程式（1）简化为了一个标量方程，从而更容易计算所需的导数。
1.2 去掉求和符号
虽然我们可以尝试直接求式（2）的导数，但包含求和符号（
）或连乘符号（ ）的表达式在求导时很容易出错。为了确保万无一失，在刚开始的时候最好去掉求和符号，把各项相加的表达式写出来。我们可以写出以下表达式，下标由“1”开始
当然，这个表达式中包括了含有
的项，这一项正是我们求导需要的项。现在不难看出，在求 对 的偏导数时，我们只关心这个表达式中的一项， 。由于其他项都不包括 ，他们对 的导数都是0。由此，我们写出
通过把关注点放在y中的一个元素对x中的一个元素的求导过程，我们尽可能地简化了计算。以后当你在矩阵求导计算中产生困惑时，也可以试着将问题简化到这个最基本的程度，这样便于看清哪里出了问题。
1.2.1 完成求导：雅可比矩阵
别忘了，我们的终极目标是计算
中每个元素对 中每个元素的导数，这些导数总共有 个。以下矩阵可以表示所有这些导数：
在这种特殊情况下，它被称为雅可比矩阵（Jacobian maxtirx），但这个术语对理解我们的目的而言并不那么重要。
注意，对于公式
对 的偏导数可以简单地用 来表示。如果挨个儿检查整个矩阵中的所有元素，就不难发现，对所有的 和 来说，都有
也就是说，偏导数的矩阵可以表示为
现在可以看出，这个矩阵当然就是矩阵
本身。
因此，推导了这么半天，我们终于能得出，对
求
对 的导数相当于
2. 如果是行向量该怎么算
在使用不同的神经网络库时，留意权重矩阵、数据矩阵等矩阵的具体表达形式是非常重要的。例如，如果一个数据矩阵
包含许多不同的向量，那么，在这个矩阵中，是一个行向量表示数据集中的一个样本，还是一个列向量表示一个样本？
在第一部分的例子中，我们计算的向量
是一个列向量。然而，当 是行向量的时候你也得明白该怎么算。
2.1 第二个例子
假设
是含有 个元素的行向量，它是由含有 个元素的行向量 与 行 列的矩阵 计算得到的：
虽然
和 中的元素数量都和之前一样，但矩阵 的形状相当于我们在第一个例子中使用的矩阵 的转置（transpose）。尤其是因为我们现在是矩阵 左乘 ，而不是之前的右乘，现在的矩阵 必须是第一个例子中矩阵 的转置。
在这个例子中，写出
的表达式
会得到
注意这个例子中的元素序号与第一个例子中相反。如果写出完整的雅可比矩阵，我们仍然可以得出
3. 超过二维的情形该怎么算
现在假设一个与前两部分密切相关的情形，如下式
在这个情况下，
沿一个坐标轴变化，而 沿两个坐标轴变化。因此，整个导数自然会是一个三维数组。在这里，我们避免使用“三维矩阵”这样的术语，因为尚不清楚矩阵乘法和其他矩阵运算在三维数组中是如何定义的。
在处理三维数组的时候，尝试去找出展示它们的方法可能会带来不必要的麻烦。相反，我们应该简单地用表达式写出结果，用这些表达式可以计算出所需三维数组中的任何元素。
让我们继续以标量导数的计算开始，比如y中的一个元素
和 中的一个元素 。我们先用其他标量写出 的表达式，这个表达式还要体现出 在其计算中所起的作用。
然而，我们发现
在 的计算中没有起到任何作用，因为
也就是说
不过，
对 中第3列元素求导的结果一定是非零的。例如 对 的偏导数为
其实仔细看式（8）就很容易发现这一点。
一般情况下，当
中元素的下标等于 中元素的第二个下标时，这个偏导数就是非零的，反之则为零。我们由此写出：
除此以外，三维数组中的其他元素都是0。如果用
表示 对 求导得出的三维数组
其中
但是
中的其他项都为0。
最终，如果我们定义一个新的二维数组
就可以看出，我们需要的所有关于
的信息实际上都可以用 来储存，也就是说， 的非零部分其实是二维的，而不是三维的。
以紧凑的形式表示导数数组对于神经网络的高效实现而言至关重要。
4. 有多条数据该怎么算
前面的例子已经是很好的求导练习了，但如果需要用到多条数据，也就是多个向量
堆叠在一起构成矩阵 时，又该如何计算呢？我们假设每个单独的 都是一个长度为 的行向量，矩阵 是一个 行 列的二维数组。而矩阵 ，和之前的例子一样，是一个 行 列的矩阵。 的定义如下
它是一个
行 列的矩阵。因此， 的每一行将给出一个与输入 的相应行相关的行向量。
按照我们写出给定元素表达式的方法，可以写出
我们马上就能从这个式子中看出，对于偏导数
只有
的时候计算结果才不为零。也就是说，因为 中的每一个元素都只对 中相应的那一行求导， 与 的不同行之间的偏导数都为0。
我们可以进一步发现
完全不依赖于我们比较的是
和 的哪一行。
事实上，矩阵
完整包含了所有的偏导数——我们只需要根据式（10）和下标来找到我们想要的特定偏导数。
如果用
表示 中的第 行，用 表示 中的第 行，可以发现
正是对之前式（7）的一个简单的普遍化形式。
5. 向量和矩阵中的链式法则
我们已经通过几个例子学会了一些基本形式的计算，现在通过链式法则把这些例子结合在一起。再次假设
和 是两个列向量，让我们从下式开始
尝试计算
对 的导数。我们可以简单地观察到两个矩阵 和 的乘积就是另一个矩阵 ，因此可以写出
然而，我们想通过链式法则来定义中间结果，以观察在非标量求导过程中是如何应用链式法则的。
我们把中间结果定义为
于是有
然后我们可以运用链式法则写出
为了确保我们确切地知道该式的含义，再次采用每次分析一个元素的老办法，从
中的一个元素和 中的一个元素开始：
右边的乘积该怎么解释呢？链式法则的思想是将
对每个标量中间变量的导数与中间变量对 的导数相乘。特别地，如果 有 个元素，那么可以写出
回忆之前关于向量对向量求导的计算方法，发现
其实是
，而
其实是
。所以可以写出
这就是用
中的元素写出的求导表达式，至此我们得出了答案。
综上所述，我们可以用链式法则来表示向量和矩阵的导数，只需要注意：
清楚说明中间结果和表示中间结果的变量，表示出最终导数中各个元素的链式法则，对链式法则表达式中的中间结果适当求和。
参考资料：http://cs231n.stanford.edu/vecDerivs.pdf
