标量、向量、矩阵、张量之间的联系
标量（scalar）
一个标量表示一个单独的数，它不同于线性代数中研究的其他大部分对象（通常是多个数的数组）。我们用斜体表示标量。标量通常被赋予小写的变量名称。
向量（vector）
一个向量表示一组有序排列的数。通过次序中的索引，我们可以确定每个单独的数。通常我们赋予向量粗体的小写变量名称。当我们需要明确表示向量中的元素时，我们会将元素排列成一个方括号包围的纵柱：
x=[x1x2⋮xn]\boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{c}{x_{1}} \\ {x_{2}} \\ {\vdots} \\ {x_{n}}\end{array}\right] x=⎣⎢⎢⎢⎡x1x2⋮xn⎦⎥⎥⎥⎤
矩阵（matrix）
矩阵是具有相同特征和纬度的对象的集合，表现为一张二维数据表。其意义是一个对象表示为矩阵中的一行，一个特征表示为矩阵中的一列，每个特征都有数值型的取值。通常会赋予矩阵粗体的大写变量名称，比如AAA。
张量（tensor）
在某些情况下，我们会讨论坐标超过两维的数组。一般地，一个数组中的元素分布在若干维坐标的规则网格中，我们将其称之为张量。使用 AAA 来表示张量“A”。张量AAA中坐标为(i,j,k)(i,j,k)(i,j,k)的元素记作A(i,j,k)A_{(i,j,k)}A(i,j,k)。
四者之间关系
标量是0阶张量，向量是一阶张量。举例：
标量就是知道棍子的长度，但是你不会知道棍子指向哪儿。
向量就是不但知道棍子的长度，还知道棍子指向前面还是后面。
张量就是不但知道棍子的长度，也知道棍子指向前面还是后面，还能知道这棍子又向上/下和左/右偏转了多少。
向量和矩阵的范数归纳
向量的范数(norm)
定义一个向量为：a⃗=[−5,6,8,−10]\vec{a}=[-5, 6, 8, -10]a=[−5,6,8,−10]。任意一组向量设为x⃗=(x1,x2,...,xN)\vec{x}=(x_1,x_2,...,x_N)x=(x1,x2,...,xN)。其不同范数求解如下：
向量的1范数：向量的各个元素的绝对值之和，上述向量a⃗\vec{a}a的1范数结果就是：29。
∥x⃗∥1=∑i=1N∣xi∣\Vert\vec{x}\Vert_1=\sum_{i=1}^N\vert{x_i}\vert ∥x∥1=i=1∑N∣xi∣
向量的2范数：向量的每个元素的平方和再开平方根，上述a⃗\vec{a}a的2范数结果就是：15。
∥x⃗∥2=∑i=1N∣xi∣2\Vert\vec{x}\Vert_2=\sqrt{\sum_{i=1}^N{\vert{x_i}\vert}^2} ∥x∥2=i=1∑N∣xi∣2
向量的负无穷范数：向量的所有元素的绝对值中最小的：上述向量a⃗\vec{a}a的负无穷范数结果就是：5。
∥x⃗∥−∞=min∣xi∣\Vert\vec{x}\Vert_{-\infty}=\min{|{x_i}|} ∥x∥−∞=min∣xi∣
向量的正无穷范数：向量的所有元素的绝对值中最大的：上述向量a⃗\vec{a}a的正无穷范数结果就是：10。
∥x⃗∥+∞=max∣xi∣\Vert\vec{x}\Vert_{+\infty}=\max{|{x_i}|} ∥x∥+∞=max∣xi∣
向量的p范数：
Lp=∥x⃗∥p=∑i=1N∣xi∣ppL_p=\Vert\vec{x}\Vert_p=\sqrt[p]{\sum_{i=1}^{N}|{x_i}|^p} Lp=∥x∥p=pi=1∑N∣xi∣p
矩阵的范数
定义一个矩阵A=[−1,2,−3;4,−6,6]A=[-1, 2, -3; 4, -6, 6]A=[−1,2,−3;4,−6,6]。 任意矩阵定义为：Am×nA_{m\times n}Am×n，其元素为 aija_{ij}aij。
矩阵的范数定义为
∥A∥p:=supx≠0∥Ax∥p∥x∥p\Vert{A}\Vert_p :=\sup_{x\neq 0}\frac{\Vert{Ax}\Vert_p}{\Vert{x}\Vert_p} ∥A∥p:=x̸=0sup∥x∥p∥Ax∥p
当向量取不同范数时, 相应得到了不同的矩阵范数。
矩阵的1范数（列范数）：矩阵的每一列上的元
素绝对值先求和，再从中取个最大的,（列和最大），上述矩阵AAA的1范数先得到[5,8,9][5,8,9][5,8,9]，再取最大的最终结果就是：9。
∥A∥1=max1≤j≤n∑i=1m∣aij∣\Vert A\Vert_1=\max_{1\le j\le n}\sum_{i=1}^m|{a_{ij}}| ∥A∥1=1≤j≤nmaxi=1∑m∣aij∣
矩阵的2范数：矩阵ATAA^TAATA的最大特征值开平方根，上述矩阵AAA的2范数得到的最终结果是：10.0623。
∥A∥2=λmax(ATA)\Vert A\Vert_2=\sqrt{\lambda_{max}(A^T A)} ∥A∥2=λmax(ATA)
其中， λmax(ATA)\lambda_{max}(A^T A)λmax(ATA) 为 ATAA^T AATA 的特征值绝对值的最大值。
矩阵的无穷范数（行范数）：矩阵的每一行上的元素绝对值先求和，再从中取个最大的，（行和最大），上述矩阵AAA的行范数先得到[6；16][6；16][6；16]，再取最大的最终结果就是：16。
∥A∥∞=max1≤i≤m∑j=1n∣aij∣\Vert A\Vert_{\infty}=\max_{1\le i \le m}\sum_{j=1}^n |{a_{ij}}| ∥A∥∞=1≤i≤mmaxj=1∑n∣aij∣
矩阵的核范数：矩阵的奇异值（将矩阵svd分解）之和，这个范数可以用来低秩表示（因为最小化核范数，相当于最小化矩阵的秩——低秩），上述矩阵A最终结果就是：10.9287。
矩阵的L0范数：矩阵的非0元素的个数，通常用它来表示稀疏，L0范数越小0元素越多，也就越稀疏，上述矩阵AAA最终结果就是：6。
矩阵的L1范数：矩阵中的每个元素绝对值之和，它是L0范数的最优凸近似，因此它也可以表示稀疏，上述矩阵AAA最终结果就是：22。
矩阵的F范数：矩阵的各个元素平方之和再开平方根，它通常也叫做矩阵的L2范数，它的优点在于它是一个凸函数，可以求导求解，易于计算，上述矩阵A最终结果就是：10.0995。
∥A∥F=(∑i=1m∑j=1n∣aij∣2)\Vert A\Vert_F=\sqrt{(\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n{| a_{ij}|}^2)} ∥A∥F=(i=1∑mj=1∑n∣aij∣2)
矩阵的 p范数
∥A∥p=(∑i=1m∑j=1n∣aij∣p)p\Vert A\Vert_p=\sqrt[p]{(\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n{| a_{ij}|}^p)} ∥A∥p=p(i=1∑mj=1∑n∣aij∣p)
