问题补充:
在四棱锥P-ABCD中,AD⊥AB,CD∥AB,PD⊥底面ABCD,,直线PA与底面ABCD成60°角,点M,N分别是PA,PB的中点.
(1)求二面角P-MN-D的大小;
(2)当的值为多少时,△CDN为直角三角形.
答案:
解:(1)由已知AD⊥AB,PD⊥AB,得AB⊥平面PAD,
又MN∥AB,∴MN⊥平面PAD,MN⊥PM,MN⊥DM
∴∠PMD为二面角P-MN-D的平面角.(3分)
由已知∠PAD=60°,得∠MPD=30°,
∵DM是Rt△PDA斜边PA上的中线,MD=MP
∴△PMD为等腰三角形,∠PMD=120°,
即二面角P-MN-D的大小为120°.(7分)
(2)显然∠DCN≠90°.若∠CDN=90°,则CD⊥平面PAN,
而CD⊥平面PAD,故平面PAN与平面PAD重合,与题意不符.
由△CDN是Rt△,则必有CN⊥DN,
连BD,设AD=a,由已知得AB=a,从而BD=a,
又PD=ADtan60°a,
∴PD=BD,得DN⊥PB,
故DN⊥平面PBC,(10分)
∴DN⊥BC,又PD⊥BC,
∴BC⊥平面PBD,
∴BD⊥BC,反之亦然.
∵AB∥CD
∴∠ABD=∠CDB,
∴Rt△BD∽Rt△CDB(12分)
∴
CD=
==.(14分)
解析分析:(1)由已知中AD⊥AB,CD∥AB,PD⊥底面ABCD,我们可得∠PMD为二面角P-MN-D的平面角.由线PA与底面ABCD成60°角,进而可以得到,△PMD为等腰三角形,∠PMD=120°即二面角P-MN-D的大小;(2)若,△CDN为直角三角形,则必有CN⊥DN,连BD,设AD=a,我们可以得到Rt△BD∽Rt△CDB,然后根据相似三角形的性质得到的值.
点评:本题考查的知识点是二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的性质,其中(1)的关键是得到∠PMD为二面角P-MN-D的平面角,而(2)的关键是得到Rt△BD∽Rt△CDB.
在四棱锥P-ABCD中 AD⊥AB CD∥AB PD⊥底面ABCD 直线PA与底面ABCD成60°角 点M N分别是PA PB的中点.(1)求二面角P-MN-D的大