问题补充:
如图,AB是⊙O的直径,C为AB延长线上的一点,CD交⊙O于点D,且∠A=∠C=30°.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)请判断线段AC是BC的多少倍,并说明理由.
答案:
(1)证明:连接OD.
∵AB是直径,
∴∠ADB=90°,
∵∠A=30°,
∴∠ABD=60°,
∴△OBD是等边三角形,
∴∠BOD=60°,
又∵∠C=30°,
∴∠ODC=90°,
即OD⊥DC,
故DC是⊙O的切线;
(2)∵OD⊥DC,且△OBD是等边三角形,
∴∠C=∠CDB=30°,BD=OB,
∴BD=BC,
∴OB=BC,
∴OB=BC=OA,
∴AC=3BC.
解析分析:(1)由于AB 是直径,那么∠ADB=90°,而∠A=30°,易求∠ABD=60°,从而易证△BOD实等边三角形,即∠BOD=60°,又∠C=30°,可求∠ODC=90°,从而可知CD是⊙O切线;
(2)根据弦切角定理可知∠CDB=30°,而∠C=30°,易证BD=BC,而△BOD是等边三角形,从而有BD=OB,即BC=OB=OA,易得AC=3BC.
点评:本题考查了等边三角形的判定和性质、切线的判定和性质、直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半.解题的关键是连接OD,并证明△OBD是等边三角形.
如图 AB是⊙O的直径 C为AB延长线上的一点 CD交⊙O于点D 且∠A=∠C=30°.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)请判断线段AC是BC的多少倍 并说明理由.