问题补充:
如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于A(-1,0)、B(5,0)、C(0,4)三点,顶点为点D.
(1)求二次函数的解析式,并求出顶点坐标;
(2)x轴上方的抛物线是否存在异于B、C的点P,过点P作x轴的垂线,垂足为点M,使直线BC平分△PMB的面积?如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)抛物线的对称轴上是否存在点Q,使AQ等于点B到直线AQ的距离?如果存在,请直接写出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
答案:
解:(1)∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(-1,0),B(5,0),C(0,4)三点,
∴,
解得,
∴y=-x2+x+4,
∴y=-x2+x+4=-(x-2)2+,
∴点D的坐标为(2,).
(2)设直线为BC为y=kx+b,则
,
解得,
则y=-x+4.
设点P的坐标为(x,-x2+x+4),
∵BC平分△PMB的面积,
∴PG=GM,
∴-x2+x+4-(-x+4)=-x+4,
∴x2-6x+5=0,
解得x1=1,x2=5(不合题意,舍),
∴点P的坐标为(1,).
(3)∵A点坐标为(-1,0),B点坐标为(5,0),
∴函数对称轴坐标为x=2,
设Q点坐标为(2,m),
连接AQ、BQ,作BN⊥AQ,垂足为N.
设AQ解析式为y=kx+b,
将A(-1,0),Q(2,m)分别代入解析式得,
,
解得,
函数解析式为y=x+,
整理得mx-3y+m=0,
根据两点间距离公式得BN=,
则在△ABQ中,AB?QE=AQ?BN,
×5×m=××,
整理得,
m2-6m+9=0,m2+6m+9=0,
解得m=3或m=-3.
故Q点坐标为(2,3)或(2,-3).
解析分析:(1)根据待定系数法,将A(-1,0)、B(5,0)、C(0,4)分别代入解析式,组成三元一次方程组,解答即可;
(2)设直线为BC为y=kx+b,利用待定系数法求出其解析式,设点P的坐标为(x,-x2+x+4),根据BC平分△PMB的面积,得到PG=GM,进而得到方程x2-6x+5=0,求出x的值即为P点横坐标,代入解析式即可求出P点纵坐标,从而求出P点坐标;
(3)连接AQ、BQ,作BN⊥AQ,垂足为N,设出Q点坐标,利用勾股定理表示出AQ的长,求出AQ的函数表达式,根据点到直线的距离公式,求出BN的表达式,利用△ABQ的面积的不同求法,建立等式,求出m的值,可得Q点的坐标.
点评:本题考查了二次函数综合题,涉及待定系数法求一次函数、二次函数解析式、点到直线的距离公式、勾股定理、三角形面积求法等知识,要注意利用图形.
如图 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴 y轴分别交于A(-1 0) B(5 0) C(0 4)三点 顶点为点D.(1)求二次函数的解析式 并求出顶点坐标;(2