问题补充:
如图,顶点为D的抛物线y=x2+bx-3与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,连接BC,已知△BOC是等腰三角形.
(1)求点B的坐标及抛物线y=x2+bx-3的解析式;
(2)求四边形ACDB的面积;
(3)若点E(x,y)是y轴右侧的抛物线上不同于点B的任意一点,设以A,B,C,E为顶点的四边形的面积为S.
①求S与x之间的函数关系式.
②若以A,B,C,E为顶点的四边形与四边形ACDB的面积相等,求点E的坐标.
答案:
解:(1)B(3,0),
∴9+3b-3=0
∴b=-2
∴y=x2-2x-3
(2)∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4
∴点D的坐标为(1,-4),对称轴为x=1
∴点A的坐标为(-1,0)
过点D作X轴的垂线,垂足为F
∴S△AOC=,S△BDF=2×4÷2=4,S梯形OCDF=(3+4)×1÷2=3.5
∴四边形ACDB的面积为1.5+4+3.5=9.
(3)①当E在第四象限,S=-x2+x+6(0<x<3),
当E在第一象限,S=2x2-4x(x>3).
②存在.
当E在第四象限,S=-x2+x+6=9,
解得:x1=1,x2=2,
∴点E的坐标为(1,-4)或(2,-3);
当E在第一象限,S=2x2-4x=9,
解得:x1=1-(舍去),x2=1+,
∴点E的坐标为;
∴点E的坐标为(1,-4)或(2,-3)或.
解析分析:(1)根据题意△OBC为等腰三角形,∠BOC=90°,所以OC=OB,由图象得点C的坐标为(0,-3),所以可得点B的坐标为(3,0),将点B的坐标代入函数解析式即可求得;
(2)过点D作X轴的垂线,分割成两个直角三角形和一个直角梯形来求即可;
(3)①由点E(x,y)是y轴右侧的抛物线上不同于点B的任意一点,可得当E在第一象限时,四边形ABCE的面积=S△ABC+S△AEB;当E在第四象限,四边形ABCE的面积=S△AOC+S△OCE+S△BOE,分别得出S与x之间的函数关系式及取值范围;
②根据所得解析式,列方程即可求得.
点评:此题考查了二次函数与面积问题的综合知识,解题时要注意面积的分割与拼凑,还要注意数形结合思想的应用.
如图 顶点为D的抛物线y=x2+bx-3与x轴相交于A B两点 与y轴相交于点C 连接BC 已知△BOC是等腰三角形.(1)求点B的坐标及抛物线y=x2+bx-3的解