问题补充:
如图1,在正方形ABCD中,点E、F分别为边BC、CD的中点,AF、DE相交于点G,则可得结论:①AF=DE,②AF⊥DE(不须证明).
(1)如图②,若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点,但满足CE=DF,则上面的结论①、②是否仍然成立;(请直接回答“成立”或“不成立”)
(2)如图③,若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上,且CE=DF,此时上面的结论①、②是否仍然成立?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由.
(3)如图④,在(2)的基础上,连接AE和EF,若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点,请先判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种,并写出证明过程.
答案:
解:(1)∵DF=CE,AD=DC,且∠ADF=∠DCE,
∴△DEC≌△AFD;
∴结论①、②成立
(2)结论①、②仍然成立.理由为:
∵四边形ABCD为正方形,
∴AD=DC=CB且∠ADC=∠DCB=90°,
在Rt△ADF和Rt△ECD中
,
∴Rt△ADF≌Rt△ECD(SAS),
∴AF=DE,
∴∠DAF=∠CDE,
∵∠ADE+∠CDE=90°,
∴∠ADE+∠DAF=90°,
∴∠AGD=90°,
∴AF⊥DE;
(3)结论:四边形MNPQ是正方形
证明:∵AM=ME,AQ=QD,
∴MQ∥DE且MQ=DE,
同理可证:PN∥DE,PN=DE;MN∥AF,MN=AF;PQ∥AF,PQ=AF;
∵AF=DE,
∴MN=NP=PQ=QM,
∴四边形MNPQ是菱形,
又∵AF⊥DE,
∴∠MQP=90°,
∴四边形MNPQ是正方形.
解析分析:(1)根据正方形的性质证明△DEC≌△AFD即可知道结论成立.
(2)由已知得四边形ABCD为正方形,证明Rt△ADF≌Rt△ECD,然后推出∠ADE+∠DAF=90°;进而得出AF⊥DE;
(3)首先根据题意证明四边形MNPQ是菱形,然后又因为AF⊥DE,得出四边形MNPQ为正方形.
点评:本题考查的是全等三角形的判定,正方形的判定以及正方形的性质,难度一般.
如图1 在正方形ABCD中 点E F分别为边BC CD的中点 AF DE相交于点G 则可得结论:①AF=DE ②AF⊥DE(不须证明).(1)如图② 若点E F不是正