问题补充:
如图1,抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于A(-3,0)、B(1,0)、C(0,3)三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)D是抛物线的顶点,P是x轴下方的抛物线上的一点,若∠PBA=∠CBD,求点P的坐标;
(3)连接DC并延长交x轴于E点(如图2).若将抛物线沿其对称轴上、下平移,使抛物线与线段DE总有公共点,则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?
答案:
解:(1)把(-3,0)(1,0)(0,3)代入y=ax2+bx+c可得
,
解得,
∴y=-x2-2x+3;
(2)连接CD,过C点作CH⊥BD于H.
∵y=-x2-2x+3;
∴顶点D的坐标是(-1,4),
∵B(1,0)、C(0,3),
∴,BD=2,,
设DH=x,BP交y轴于F,
在Rt△DCH中,CH2=DC2-DH2,
在Rt△HBC中,CH2=CB2-BH2,
∴DC2-DH2=CB2-BH2,
∴,
∴,
∴.
在Rt△BCH中,.
∵∠FBO=∠CBH,
∴Rt△FBO∽Rt△CBH,
∴,
即,
∴.
∵B(1,0),
可得直线BP的解析式为.
解方程组,
得
∴,;
(3)①若抛物线沿其对称轴向下平移m(m>0)个单位.
∴y=-x2-2x+3-m,
∵直线CD:y=-x+3,
由消去y,得x2+x+m=0.
要使抛物线与线段DE总有交点,必须△=1-4m≥0,
得.
∴.
∴若抛物线向下平移,最多可平移个单位长度.
②当y=0,-x+3=0得x=3,
∴E(3,0),
若抛物线沿其对称轴向上平移n(n>0)个单位,
∴y=-x2-2x+3+n.
∴当x=3,y=n-12.
要使抛物线与线段DE总有交点,必须n-12≤0,
∴n≤12.
∴0<n≤12.
∴若抛物线向上平移,最多可平移12个单位长度.
综上可知,抛物线沿其对称轴上、下平移,使抛物线与线段DE总有公共点,则向上最多可平移12个单位长度,向下最多可平移个单位长度.
解析分析:(1)把A、B、C三点坐标代入二次函数解析式,可得关于a、b、c的三元一次方程组,解即可;
(2)连接CD,过C点作CH⊥BD于H.根据二次函数解析式易求其顶点坐标D(-1,4),再结合两点之间的距离公式易求CD、BC、BD,设DH=x,BP交y轴于F,在Rt△CDH和Rt△CBH中,利用勾股定理可得DC2-DH2=CB2-BH2,即,解可求DH,进而可求BH、CH,由于∠PBA=∠CBD,易证Rt△FBO∽Rt△CBH,
利用比例线段可求OF,容易得出直线BP的解析式,然后把此直线的解析式与二次函数解析式联合解方程组,易求P点坐标;
(3)若抛物线沿其对称轴向下平移m(m>0)个单位,那么y=-x2-2x+3-m,根据C、D坐标,以求过C、D的直线解析式,两个解析式联合,易得关于x的一元二次方程,若总有公共点,那么△≥0,进而可求m的取值范围,从而可得m的最大值;
若抛物线沿其对称轴向上平移n(n>0)个单位,那么y=-x2-2x+3+n,根据直线CD的解析式,易求E点坐标(3,0),把x=3代入二次函数解析式,可得y=n-12,由于抛物线与线段DE总有交点,那么必须n-12≤0,即n≤12,可得0<n≤12,易得n的最大值.
点评:本题考查了二次函数综合题,解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式,以及灵活使用两点之间的距离公式、勾股定理,相似三角形的判定和性质,注意二次函数与直线的交点问题.
如图1 抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于A(-3 0) B(1 0) C(0 3)三点.(1)求抛物线的解析式;(2)D是抛物线的顶点 P是x轴下方的抛物线