问题补充:
如图,在平面直角坐标系中,⊙M过点O且与y轴、x轴分别交于A、B两点,抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点,点C与点M关于x轴对称,已知点M的坐标为(2,-2).
(1)求抛物线的解析式;
(2)判断直线OC与⊙M的位置关系,并证明;
(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线OC上的动点,判断是否存在以点P、Q、A、O为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出相应的Q点的坐标;若不存在,请说明理由.
答案:
(1)解:如图1所示:
连接AM、BM,过点M作MD⊥x轴,ME⊥y轴,
∵M(2,-2),
∴D(2,0),E(0,-2),
∴A(0,-4),B(4,0),
∴,解得,
∴抛物线的解析式为:y=x2-3x-4;
(2)相切.
证明:如图2,∵点C与点M关于x轴对称,点M的坐标为(2,-2),
∴C(2,2),
∵点C是直线OC上的点,
连接MC,OM,
∵M(2,-2),C(2,2),
∴OM2=22+(-2)2=8,
OC2=22+(-2)2=8,
MC2=(2-2)2+(-2-2)2=16,
∵MC2=OM2+OC2,
∴△OMC是等腰直角三角形,
∴OM⊥OC,
∴直线OC与⊙M相切;
(3)存在.
设直线OC的解析式为:y=kx(k≠0),
∵点C是直线OC上的点,
∴2=2k,解得k=1,
∴直线OC的解析式为:y=x,
∵A(0,-4),B(4,0),
连接AB,
设直线AB的解析式为:y=kx+b(k≠0),
∵A(0,-4),B(4,0),
∴,解得,
∴直线AB的解析式为y=x-4,
∴直线AB与直线OC平行,B点即为所求点P,
当OA为平行四边形的边时,如图3所示:
过点B作BQ1⊥x轴于点Q1,
∵BQ1⊥x轴,
∴点的横坐标为4,纵坐标y=4,
∴Q1(4,4);
当OA为平行四边形的对角线时,如图4所示:
过点A作AQ2∥x轴交直线OC于点Q,
则点Q2的纵坐标为-4,横坐标x=-4,
∴Q2(-4,-4).
综上所述:Q点的坐标为Q1(4,4),Q2(-4,-4).
解析分析:(1)连接AM、BM,过点M作MD⊥x轴,ME⊥y轴,由等腰三角形的性质可得出AB两点的坐标,利用待定系数法即可得出抛物线的解析式;
(2)根据点C与点M关于x轴对称,点M的坐标为(2,-2)求出点C的坐标,连接MC,OM,利用两点间的距离公式得出OM2,OC2,MC2,的值,利用勾股定理的逆定理判断出△OMC是等腰直角三角形,故可得出OM⊥OC,进而得出结论;
(3)先根据C点坐标求出直线OC的解析式,由AB两点的坐标求出直线AB的解析,由两直线的解析式得出直线AB与直线OC平行,B点即为所求点P,再分OA为平行四边形的边和对角线两种情况求出Q点的坐标即可.
点评:本题考查的是二次函数综合题,涉及到用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、平行四边形的判定定理等知识,综合性较强.
如图 在平面直角坐标系中 ⊙M过点O且与y轴 x轴分别交于A B两点 抛物线y=x2+bx+c经过A B两点 点C与点M关于x轴对称 已知点M的坐标为(2 -2).(