问题补充:
如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,-3)点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
(1)分别求出图中直线和抛物线的函数表达式;
(2)连接PO、PC,并把△POC沿C?O翻折,得到四边形POP′C,那么是否存在点P,使四边形POP′C为菱形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案:
解:(1)设直线BC的解析式为:y=mx+n,有:
,
解得:m=1,n=-3;
∴直线BC:y=x-3.
将点B、C的坐标代入y=x2+bx+c中,得:
,
解得:b=-2,c=-3;
∴抛物线:y=x2-2x-3.
(2)由于菱形的对角线互相垂直平分,所以点P必在OC的垂直平分线上,则点P的纵坐标为-,代入抛物线y=x2-2x-3中,得:
-=x2-2x-3,
解得 x1=,x2=(舍去)
∴点P(,-).
解析分析:(1)已知B、C的坐标,利用待定系数法进行求解即可.
(2)由于四边形POP′C为菱形,OC必为对角线,进而可知OC的中垂线与y轴右边的抛物线部分的交点即为P点,且P点的纵坐标为OC长的一半的相反数,最终可得P点的坐标.
点评:本题考查了用待定系数法求函数解析式,以及图形对称变换,菱形的判定,点的坐标的确定,一元二次方程的求解.(2)题中,首先根据菱形的性质确定点P的纵坐标是解题的关键所在.
如图 在平面直角坐标系中 二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A B两点 A点在原点的左侧 B点的坐标为(3 0) 与y轴交于C(0 -3)点 点P是直线BC下