问题补充:
在平面直角坐标系xOy中,已知定点A(-2,0)、B(2,0),M是动点,且直线MA与直线MB的斜率之积为-,设动点M的轨迹为曲线C.
(I)求曲线C的方程;
(II?)过定点T(-1,0)的动直线l与曲线C交于P,Q两点,是否存在定点S(s,0),使得为定值,若存在求出s的值;若不存在请说明理由.
答案:
解:(I)设M点坐标为(x,y)
∵定点A(-2,0)、B(2,0),直线MA与直线MB的斜率之积为-,
∴
∴
∴曲线C的方程为;
(II?)当动直线l的斜率存在时,设动直线l的方程为y=k(x+1)(k≠0)
由,可得(1+4k2)x2+8k2x+4k2-4=0
设P(x1,y1),Q(x2,y2),∴
∵,
∴
若存在定点S(s,0),使得为定值,则=4
∴s=-,此时定值为
当动直线l的斜率不存在时,P(-1,),Q(-1,-),可知s=-时,=
综上知,存在定点S(-,0),使得为定值.
解析分析:(I)根据定点A(-2,0)、B(2,0),直线MA与直线MB的斜率之积为-,建立方程,化简可得曲线C的方程;(II?)当动直线l的斜率存在时,设动直线l的方程为y=k(x+1)(k≠0)与椭圆方程联立,用坐标表示出,要使存在定点S(s,0),使得为定值,则使=4即可,再验证斜率不存在情况也成立.
点评:本题考查轨迹方程的求解,考查存在性问题的探究,解题的关键是用坐标表示出,进而确定定值.
在平面直角坐标系xOy中 已知定点A(-2 0) B(2 0) M是动点 且直线MA与直线MB的斜率之积为- 设动点M的轨迹为曲线C.(I)求曲线C的方程;(II?)