问题补充:
将一张长8cm,宽6cm的长方形的纸片沿着一条直线折叠,折痕(线段)将纸片分成两部分,面积分别为S1cm2,S2cm2,其中S1≤S2.记折痕长为lcm.
(1)若l=4,求S1的最大值;
(2)若S1:S2=1:2,求l的取值范围.
答案:
解:如图所示:不妨设纸片为长方形ABCD,AB=8cm,AD=6cm,其中点A在面积为S1的部分内.折痕有下列三种情形:
情形①情形②情形③
①折痕的端点M,N分别在边AB,AD上;
②折痕的端点M,N分别在边AB,CD上;
③折痕的端点M,N分别在边AD,BC上.
(1)在情形②③中,MN≥6,故当l=4时,折痕必定是情形①.
设AM=xcm,AN=ycm,则x2+y2=16.
因为x2+y2≥2xy,当且仅当x=y时取等号,
所以,当且仅当x=y=2时取等号,即S1的最大值为4.
(2)由题意知,长方形的面积为S=6×8=48,
因为S1:S2=1:2,S1≤S2,所以S1=16,S2=32.
当折痕是情形①时,设AM=xcm,AN=ycm,则,即y=,
由,解得,
所以l==,,
?设f(x)=,x>0,则=,x>0,
故当x∈时f′(x)<0,f(x)递减,当x∈(4,8)时,f′(x)>0,f(x)递增,且f=64,f(8)=80,
所以f(x)的取值范围为[64,80],从而l的范围是[8,4].
当折痕是情形②时,设AM=xcm,DN=ycm,则,即y=,
由,解得0,
所以l==,0,
所以l的范围为[6,];
当折痕是情形③时,设BN=xcm,AM=ycm,则,即y=4-x,
由,得0≤x≤4,所以l==,0≤x≤4,
所以l的取值范围为[8,4],
综上,l的取值范围为[6,].
解析分析:(1)不妨设纸片为长方形ABCD,AB=8cm,AD=6cm,其中点A在面积为S1的部分内.折痕有下列三种情形:①折痕的端点M,N分别在边AB,AD上;②折痕的端点M,N分别在边AB,CD上;③折痕的端点M,N分别在边AD,BC上.易判断l=4为情形①,设AM=xcm,AN=ycm,则x2+y2=16.利用不等式即可求得S1的最大值;(2)由题意知,长方形的面积为S=6×8=48,因为S1:S2=1:2,S1≤S2,所以S1=16,S2=32,按三种情形进行讨论:根据S1的面积可把折痕l表示为函数,根据函数的特点可用导数或二次函数性质分别求得l的范围,综上即可求得l的范围;
点评:本题考查利用导数、不等式求函数的最值,考查分类讨论思想、函数思想、数形结合思想,考查学生分析解决问题的能力.
将一张长8cm 宽6cm的长方形的纸片沿着一条直线折叠 折痕(线段)将纸片分成两部分 面积分别为S1cm2 S2cm2 其中S1≤S2.记折痕长为lcm.(1)若l=