问题补充:
已知抛物线关于x轴对称,顶点在坐标原点,点P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上.
(1)求抛物线方程及准线方程;
(2)若点M(2,0)在AB上,求x1x2、y1y2的值.
答案:
解:(1)由已知条件,
可设抛物线的方程为y2=2px.
∵点P(1,2)在抛物线上,
∴22=2p×1,解得p=2.
故所求抛物线的方程是y2=4x,
准线方程是x=-1.
(2)∵点M(2,0)在AB上,
∴当直线AB的斜率k存在时,设AB的方程为y=k(x-2),
由,消去y,得k2x2-(4k2+4)x+4k2=0,
∴,,
y1y2=k(x1-2)?k(x2-2)
=k2x1x2-2k2(x1+x2)+4k2
=8k2
=-8.
当直线AB的斜率k不存在时,直线AB的方程为:x=2,
它与抛物线y2=4x交于A(2,2),B(2,-2),
x1x2=2×2=4,y1y2=2=-8.
综上所述:x1x2=4,y1y2=-8.
解析分析:(1)设抛物线的方程为y2=2px.由点P(1,2)在抛物线上,求出p=2.由此能求出抛物线的方程和准线方程.(2)设AB的方程为y=k(x-2),由得k2x2-(4k2+4)x+4k2=0,由此能求出x1x2和y1y2的值.
点评:本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,综合性强,是高考的重点,易错点是知识体系不牢固.本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化.
已知抛物线关于x轴对称 顶点在坐标原点 点P(1 2) A(x1 y1) B(x2 y2)均在抛物线上.(1)求抛物线方程及准线方程;(2)若点M(2 0)在AB上