问题补充:
已知椭圆C的对称轴在坐标轴上,且过点,.设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点,求线段AB的中点坐标.
答案:
解:设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),
由题意得,,即,解得m=,n=1,
所以椭圆的标准方程是:.
联立方程组,消去y得,10x2+36x+27=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),AB线段的中点为M(x0,y0),
则,x0==-,
所以y0=x0+2=.
故线段AB中点坐标为(-,).
解析分析:设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),把两点坐标代入可得方程组,解出即可求得椭圆方程,联立直线与椭圆方程构成方程组,消掉y得x的二次方程,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB线段的中点为M(x0,y0),由韦达定理及中点坐标公式即可求得x0,代入直线方程即可求得y0.
点评:本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆方程的求解,韦达定理及中点坐标公式是解决该类题目的基础,要熟练掌握.