解答题在平面直角坐标系中 O为坐标原点．已知曲线C上任意一点P（x y）（其中x≥0）

问题补充：

解答题在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知曲线C上任意一点P（x，y）（其中x≥0）到定点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1，直线l与曲线C相交于不同的A，B两点．

（1）求曲线C的轨迹方程；

（2）若直线l经过点F（1，0），求的值；

（3）若，证明直线l必过一定点，并求出该定点．

答案：

解：（1）依题意知，动点P到定点F（1，0）的距离等于P到直线x=-1的距离，

∴曲线C是以原点为顶点，F（1，0）为焦点的抛物线??????????

∵，∴p=2

∴曲线C方程是y2=4x

（2）当l平行于y轴时，其方程为x=1，由解得A（1，2）、B（1，-2）

此时

当l不平行于y轴时，设其斜率为k，则由得k2x2-（2k2+4）x+k2=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1x2=1，

∴==

（3）设l：x=ty+b代入抛物线y2=4x消去x，得y2-4ty-4b=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4t，y1y2=-4b．??

∵

=-4bt2+4bt2+b2-4b=b2-4b．???

令b2-4b=-4，∴b2-4b+4=0，∴b=2，

∴直线l过定点（2，0）．解析分析：（1）依题意知，动点P到定点F（1，0）的距离等于P到直线x=-1的距离，曲线C是以原点为顶点，F（1，0）为焦点的抛物线，由此可求曲线C方程；（2）当l平行于y轴时，其方程为x=1，此时；当l不平行于y轴时，设l的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理及向量的数量积，可得的值；（3）设l：x=ty+b代入抛物线y2=4x消去x，得y2-4ty-4b=0，利用韦达定理及，可得b的值，从而可得结论．点评：本题考查抛物线的定义，考查向量的数量积，考查直线与抛物线的位置关系，解题的关键是确定抛物线的方程，联立方程，利用韦达定理求解．