一、十字交叉法的原理
将两种不同浓度的同种溶液(浓度分别为a、b，质量分别为A、B)混合，得到的混合溶液浓度为r=(Aa+Bb)/(A+B)，化简该式得到(r-b)/(a-r)=A/B，即将各部分的“平均值”和总体的“平均值”交叉做差后得到的比值与这两种溶液的质量之比相等。用十字交叉法表示如下：
质量 浓度 交叉做差
第一种溶液 A a r-b
r
第二种溶液 B b a-r
得到(r-b)/(a-r)=A/B
二、交叉做差的注意事项
1、注意：“大减小”或同时“小减大”
交叉做差时，a-r、r-b或者r-a，b-r，也就是说r做一次减数，做一次被减数。在这三个量都已知时，习惯是“大减小”;当这三个量中因有未知数而无法判断谁大谁小时，只要遵循r做一次减数，做一次被减数的原则即可。
例题1：一批手机，商店按期望获得100%的利润来定价，结果只销售掉70%。为了尽早销售掉剩下的手机，商店决定打折出售，为了获得的全部利润是原来期望利润的91%，则商店所打的折是：
A.六折 B.七折 C.八五折 D.九折
解析：利润=收入-成本。设打折后的利润率为x，则有：
第一部分手机 70% 100% 91%-x
91%
第二部分手机 30% x 9%
故有(91%-x)/9%=70%/30%，解得x=70%，所以商店所打的折扣为(1+70%)÷(1+100%)=85%，故选C。
【注释】此处，91%与x交叉做差时如果写成x-90%，会导致结果错误
2、注意：涉及增长时，交差所得的比值是基期值
例题2：某高校度毕业学生7650名，比上年度增长2%。其中本科毕业生比上年度减少2%，而研究生毕业生数量比上年度增加10%，那么，这所高校今年毕业的本科生有：
A.3920人 B.4410人 C.4900人 D.5490人
解析：利用十字交叉法，有：
本科毕业生 -2% 8%
2%
研究生毕业生 10% 4%
所以本科毕业生与研究生毕业生人数之比为8%∶4%=2∶1，故今年毕业的本科生有7650÷(1+2%)×(2/3)×(1-2%)=4900人，故选C。
【注释】此处，利用十字交叉法求出的人数比例是的，不是的。
三、十字交叉法的应用
例题3：一种溶液，蒸发掉一定量的水后，溶液的浓度变为10%，再蒸发掉同样多的水后，溶液的浓度变为12%，第三次蒸发掉同样多的水后，溶液的浓度将变为多少?
A.14% B.17% C.16% D.15%
解析：10%的溶液蒸发掉一定量的水浓度变为12%，可以看成12%的溶液与一定量的水混合得到10%的溶液，则有：
12%的溶液 12% 10%
10%
水 0% 2%
故12%的溶液与一次蒸发的水质量之比为10%∶2%=5∶1。5份浓度为12%的溶液蒸发掉1份水，浓度变为12%×5/4=15%。
【注释】与水或纯溶质混合是溶液混合中的特殊情况，用十字交叉法时，只需将水的浓度写为0%，将纯溶质的浓度写为100%即可。
例题4：某班男生比女生人数多80%，一次考试后，全班平均成级为75 分，而女生的平均分比男生的平均分高20% ，则此班女生的平均分是多少?
解析：假设男生平均分为X，男生比女生人数多80%，假设女生人数5，男生人数9
男生 9 x 1.2x-75
75
女生 5 1.2x 75-x
9/5=(1.2x-75)/ 75-x，X=70，女生=84
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