第1章 集 合
1.1 复习笔记
一、集合
1．集合和元素
（1）集合的定义
集合又称集，是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇集成的总体，这些对象称为该集合的元素．
（2）集合与元素的关系
设A是一个集合，x是一个元素．如果x是A的元素，则可说x属于A，并记作x∈A；
如果x不是A的元素，则说x不属于A，并记作
（3）集合的表示
①枚举法
将集合的元素列举出来表示集合的办法称为枚举法．
②条件法
通过指出集合中元素的特性来表示该集合．
（4）一些常见的集合
①N＝{1，2，…，n，…}＝{n|n是自然数}；
②R＝{x|x是实数}；
③Q＝{x|x是有理数}＝{x＝q/p|p，q是整数且p＞0}；
④R＝{x|x＞0}；
⑤
是xy平面上点（x，y）的全体。一般地，
称为n维空间．
2．集合的分类
（1）有界集和无界集
若集合A由n个元素组成，这里n是一个确定的自然数，则称集合A是有限集，不是有限集的集称为无限集．
（2）单点集
仅有一个元素a组成的集合{a}称为单点集．注意，a∈{a}但a≠{a}．
（3）可数集
如果一个无限集可表示成
则这个集合称为可列集．
（4）空集
一个元素也不存在的集合称为空集，记作
．
3．子集
（1）定义
设A，B是两个集合．如果B的元素都是A的元素，则称B是A的子集，并记为
若B不是A的子集，则记为
．
（2）命题
A是任意一个集合，必有
4．若干逻辑记号
（1）设P，Q是两个命题．
表示命题P成立时命题Q也成立，俗称从P可推出Q．
（2）
表示
且
即P成立的充要条件是Q成立．
（3）记号
意为存在，记号
意为每一个或任意的．
5．集合运算
设A，B是两个集合：
（1）并集A∪B
A∪B是A和B的元素汇总所成的集，即A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
（2）交集A∩B
A∩B是A和B的公共元素所成的集，即A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．
（3）差集A－B
A－B表示由在A中但不在B中的元素所组成的集，即A－B＝{x|x∈A且x∉B}．
（4）补集
设A是X的一个子集，A的补集（又称余集）
定义为
，即属于X但不属于A的元素的全体组成的集合．
6．集合运算公式
7．无限个集合的运算
（1）可列多个集合
的并集
表示将每个集合
的元素汇总而成的集合，即
（2）可列多个集合
的交集
表示由所有
的公共元素所组成的集合，即
二、数集及其确界
1．区间与邻域
（1）区间
①有界区间
设a，b是两个实数且a≤b，闭区间[a，b]，开区间（a，b），闭开区间[a，b）及开闭区间（a，b]分别指下列数集：
其中，数a，b称为端点，〈a，b〉用来泛指以上四种区间。若a＞b，则〈a，b〉理解为〈b，a〉．
②无穷区间
这里“＋∞”与“－∞”分别读作正无穷与负无穷
