转载原因：我知道托勒密（C. Ptolemy Claudius），是因为在研究宇宙时空构架的时候发现了专题片：《维度：数学漫步（Dimensions: a walk through mathematics）》，这是一个两小时长的CG科普电影，讲述了许多深奥的数学知识，如4维空间中的正多胞体、复数、分形（fractals）、纤维化理论（fibrations）等等。亿能强烈建议您阅读这部专题片，即使对宇宙架构毫无兴趣，也可以当做是温固数学的简明教材。
图片：宇宙多维时空结构
泰山北斗《至大论》（上）——该谈谈托勒密了之一
江晓原
托勒密（C. Ptolemy Claudius），本来是世界科学史上极少数最伟大的人物之一，但是在中国却颇受委屈，一直被排挤在科学伟人行列之外，他那些伟大的科学著作也没有任何一部被译成中文——连《至大论》也没有！现在能看到的唯一一篇《至大论》中文提要，只有一千多字，还是近400年前来华耶稣会士汤若望（J. Adam Shall von Bell，德国人）留下的。
看来，我们是该谈谈托勒密了。
但是，常见的谈论“其人其事”的套路对托勒密不适用，因为关于“其人”几乎没有什么可谈的——只知道他活动于公元2世纪上半叶，长期居住在亚历山大城（Alexandria，今属埃及）。所以我干脆就先从“其书”谈起。而要谈托勒密的书，首先当然应该谈科学成就最高、后世影响最大的《至大论》。
《至大论》堪称西方古典天文学中的泰山北斗，是希腊数理天文学的渊薮，也是后来中世纪阿拉伯天文学和文艺复兴之后欧洲近代天文学的无可置疑的源头。从《至大论》问世之后，直到牛顿之前，期间所有伟大的西方天文学家，包括哥白尼、开普勒，没有一个不是吮吸着《至大论》的乳汁成长起来的——包括那些对托勒密体系不满意而想有所改进的人；期间所有重要的西方天文学著作，包括哥白尼的《天体运行论》，没有一部不是建立在《至大论》所奠定的基础之上的。
《至大论》全书13卷。希腊文原名意为“天文学论集”，稍后常被称为“大论集”（可能是与另一部名为《小天文论集》的希腊著作相对而言的）。阿拉伯翻译家将书名译成al-majisti，再经拉丁文转写，遂成Almagest，成为此书的固定名称。此书的中文译名曾有《天文学大成》、《伟大论》、《大集合论》、《大综合论》等多种，但以《至大论》最简洁明了且符合原意。
《至大论》继承了欧多克斯（Eudoxus）、希帕恰斯（Hipparchus，活动于公元前150～127年间）所代表的古希腊数理天文学传统，并使之发扬光大，臻于空前绝后之境。托勒密在书中构造了完备的几何模型，以描述太阳、月亮、五大行星、全天恒星等天体的各种运动；并根据观测资料导出和确定模型中各种参数；最后再编算成各种天文表，由此能够在任何给定的时间点上，预先推算出各种天体的位置。
《至大论》第一、二卷主要讲述预备知识。包括地圆、地静、地在宇宙中心、地与宇宙尺度相比非常之小可视为点等。有不少篇幅用来讨论球面三角学，这在托勒密之前已由希腊数学家梅内劳斯（Menelaus）作了很大发展，今天的天文学家仍在使用。托勒密用球面三角学处理黄道、赤道以及黄道坐标与赤道坐标的相互换算。他确定黄赤交角之值为23°51’20”。他还给出了太阳赤纬表，表现为太阳黄经的函数，这样就能掌握一年内太阳赤纬的变化规律，进而可以计算日长等实用数据。
第三卷专门讨论太阳运动理论。主要是解决太阳周年视运动速度的变化。托勒密用几何模型来描述这一问题，一年中太阳在远地点运行最慢，而在近地点运行最快。托勒密能够给出任一时刻的太阳实际位置。许多现代学者认为，他在太阳运动方面的工作基本上未超出希帕恰斯的成就，但他采用的模型比希帕恰斯的要简单明快得多。
《至大论》第四、五两卷主要讨论月球运动理论。托勒密首先区分了恒星月、近点月、交点月和朔望月这4种不同概念。为了建立精确可用的月球运动表，托勒密采用两种不同的几何模型来处理月球运动。其一，由三次月食观测确定三处月球位置，因月食时月黄经恰与太阳黄经相差180。，而太阳位置由卷三的理论已可准确得知，这样托勒密就能够推求出月球所在本轮的半径和对应的均轮半径。而在第二种月球运动模型中，托勒密处理了“出差”（evection），这是月球运动理论史上最重要的进展之一。托勒密能成功地用几何模型来描述包括出差在内的各种月球运动差数，使之与实际观测结果吻合甚好。托勒密采用的黄白交角之值是5°。这一卷中还讨论了日、月的视差等问题，但颇多错误。
《至大论》第六卷，在四、五两卷基础上，专论交食理论。这实际上可视为他在前面各卷中所述日、月运动理论的检验和应用。
第七、八两卷专论恒星。托勒密将自己的观测与希帕恰斯等前人的观测结果进行比较，讨论了岁差问题。希帕恰斯对岁差值的估计是“不小于每百年1°”，但托勒密似乎就采纳了每百年1°之值，这样就使他的岁差值偏小了。这两卷的主要篇幅用于登载一份恒星表，即著名的“托勒密星表”，这是世界上最早的星表之一。
“托勒密星表”共记录了1022颗恒星，分属于48个星座，每颗下都注有该星的黄经、黄纬、星等（从1至6等）三项参数。关于这份星表在多大程度上是承袭自希帕恰斯的，一直有许多猜测。表中各星，没有一颗是亚历山大城可见而罗得岛（Rhodes，希帕恰斯的天文台所在地）不可见的；况且在星表中注明各星黄经、黄纬及星等、将星分为6等之类，都是希帕恰斯开创的先例，因此颇有人怀疑托勒密的星表并非出自他亲自所测，不过是将希帕恰斯旧有之表加上岁差改正值而已。用现代方法检验，托勒密星表总的来说黄经值偏小，有的学者认为，造成这种误差的主要原因，是托勒密的日、月运动理论不完善，因为在古代西方，测定标准星坐标值的主要方法是借助太阳运动表，并以月亮为中介来进行，而其余恒星的坐标值是根据少数标准星来测定的。
（未完待续）
载《新发现》杂志第1期
泰山北斗《至大论》（下）——该谈谈托勒密了之二
江晓原
《至大论》从第九卷起，转入对行星运动的研究，用去五卷的巨大篇幅。如果说以前各卷的内容中，或多或少都有希帕恰斯的遗产，那么在这后五卷中，托勒密丰富多彩的创造和贡献是任何人都不会怀疑的。
在第九卷一开始，托勒密阐明了他所构造的地心宇宙体系，如图1所示，这个体系从此成为欧洲和阿拉伯天文学普遍遵循的理论基础，长达一千余年。
这个体系从整体上看似乎相当一目了然，但实际上，要解决具体问题时就非常繁琐复杂了。为了具体用数学方式描述各行星的运动并状况，托勒密设计了如图2所示的几何模型，用于处理土、木、火三颗外行星的情况。在图2中，O依旧表示地球，行星P在其本轮上绕行，本轮之心C在大圆（即均轮）上绕行，但是大圆之心虽为M，C点的运行却只是从E看去才是匀速的。M点与O点及E点的距离相等，其长度为e，称为偏心率（eccentricity）。对于外行星而言，e是一个经验系数，可根据最后计算所得行星位置与实测之间的吻合情况进行调整。K为平近点角，连接O、M、E、A各点的直线为拱线（apsidal line）。对外行星而言，PC线与地球对平太阳位置的连线始终保存平行。为了确定外行星的各项参数，包括拱线方位在内，托勒密选用三项行星位置的观测记录，用类似以三次月食定月运动模型参数的方法来处理。
处理金、水两颗内行星的模型与图2稍有不同，对于拱线位置和e值等参数的确定，更多地依赖于对内行星大距（elongation，从地球上看该内行星与太阳的最大视角距）的观测资料。
图2中E点的引入，是一个非常引人注目的重要特征，该点从中世纪以后通常被称为“对点”（equant）。对点的引入大胆冲破了古希腊天文学中对匀速圆周运动（uniform motion）传统迷信——这种迷信纯出于哲学思辩。事实上，运用图2模型求得的行星黄经，与在开普勒随圆模型中代入相同的偏心率e值后所得结果，误差仅仅在10’以内。托勒密引人“对点”所体现的对匀速圆周运动信念的超越，使他在这一方面甚至走在了哥白尼前头。对于图2中的“对点”，如果认为在某种程度上已开了后世开普勒椭圆运动模型的先声，也不能算过分夸张的说法。
运用几何模型，逐个处理五大行星的黄经运动，占去了《至大论》九至十一卷的大部分篇幅。到第十二卷中，托勒密致力于编算外行星在逆行时段的弧长和时刻表，以及内行星的大距表。
在《至大论》第十三卷中，托勒密专门讨论行星的黄纬运动。诸行星轨道面与黄道面并不重合，各有不同的小倾角，这一事实在日心体系中来看十分简单，但要在地心体系中处理它就比较复杂。在《至大论》中，托勒密未能将这一问题处理好。他令外行星轨道面（也即均轮deferent所在的平面）与黄道面有一个倾角；又令本轮与均轮各自的平面之间有另一个倾角，这两个倾角之值又不相等，这使问题变得非常繁琐。
对于宇宙体系的结构及运行机制问题，托勒密在《至大论》中采取极为务实而明快的态度，他在全书一开头就表明，他的研究将采用“几何表示”（geometrical demonstration）之法进行。在卷九开始讨论行星运动时他说得更明白：“我们的问题是表示五大行星与日、月的所有视差数——用规则的周圆运动所生成”。他将本轮、偏心圆等仅视为几何表示，或称为“圆周假说的方式”。那时，在他心目中，宇宙间并无任何实体的天球，而只是一些由天体运行所划过的假想轨迹。
但是，当《至大论》问世之后，行星黄纬问题显然仍旧萦绕在托勒密心头。在他晚年的作品《行星假说》（Planetary Hypotheses）第一卷中，他改善了行星黄纬运动模型，关键的一步是令上述两个倾角之值相等，这意味着本轮面始终与黄道面保持平行。而均轮面与黄道的倾角，则正好对应于后世日心体系中行星轨道与黄道面的倾角。《行星假说》第一卷中的行星黄纬运动模型，已是在地心体系下处理这一问题的最佳方案。
然而，此时在托勒密思想上，可能有一种带有神秘主义色彩的倾向滋生起来。在《行星假说》第二卷对宇宙体系的讨论中，每个天体都有自己的一个厚层，内部则是实体的偏心薄球壳，天体即附于其上。这里的偏心薄球壳实际上起着《至大论》中本轮的作用。而各个厚球层（其厚度由该层所属天体距地球的最大与最小距离决定）与“以太壳层”是相互密接的。此时托勒密改变了《至大论》中的几何表示之法，致力于追求所谓“物理的”（physical）模式。这部分内容出现在只有阿拉伯文译本的《行星假说》第二卷中，有人因此怀疑其中可能杂有后世阿拉伯天文学家的工作。
《至大论》在托勒密身后不久就成为古代西方世界学习天文学的标准教材。公元4世纪出现了帕普斯（Pappus）的评注本，以及亚历山大城的塞翁（Theon of Alexandria）的评注本。约在公元800年出现阿拉伯文译本。而此后出现的更为完善的译本，则是阿拔斯王朝的著名哈里发阿尔马蒙（Al–Ma’mun）对于天文学大力赞助的结果。公元1160年左右，一个从希腊文本译出的拉丁文译本出现在西西里。而公元1175年出现的克雷莫纳的杰拉尔德（Gerard of Cremona）从阿拉伯文译出的拉丁文译本，使得《至大论》开始重新被西欧学者所了解。
在此前漫长的中世纪，西方世界的天文学进展主要出现在阿拉伯世界，而阿拉伯天文学家是大大受益于托勒密《至大论》的。上述这些拉丁文译本，则在下个世纪大大提高了欧洲天文学的水准。
载《新发现》杂志第2期
从星占之王的《四书》说起——该谈谈托勒密了之三
江晓原
在托勒密身后的历史时期中，他作为天文学家和作为星占学家，究竟哪个名声更大，学者们有不同看法。不过至少在中世纪晚期，他的名声首先是和他的星占学巨著《四书》联系在一起的。
《四书》四卷，在西文中常写作Tetrabiblos，系自希腊文转写而来，拉丁文则作Quadripartum，都是“四卷书”之意。《四书》的写作，在公元139～161年之间，大致在完成《至大论》之后，而在撰写《地理学》之前。经过近代西方学者考订校释，《四书》已有希腊文和英文的现代版本可供使用。
托勒密本人将此书视为《至大论》的姊妹篇，在《至大论》中，他只是致力于让人们能够预先推算出任何时刻的各种天体位置。而在《四书》中，他试图详细阐述这些天体在不同位置上对尘世事务的不同影响，他认为这两方面是不可偏废的。托勒密坚信天体对人间事务有着真实的、“物质上的”（physical）影响力，他从太阳、月亮对大地的物质影响出发，由类比推论出上述信念。当然，托勒密并非宿命论者，他承认左右人世事务的因素有多种，天体的影响力只是其中之一。
《四书》第一卷可以视为星占学的预备知识。集中讲述日、月、五大行星运动以及恒星的视位置等数理天文学知识——这是任何一个入流的星占学家都必须掌握的。
在第二卷中，托勒密试图为星占学确立一些理论基础和法则。托勒密论证说：既然太阳、月亮可以通过季节、潮汐来直接影响地球上的人类生活，那么五大行星又何尝不能影响尘世的事务呢？托勒密认为星占学可以应用于两个领域：国家（民族）和个人。不过对于前一领域，托勒密主要研究天象对大地的一般性影响，包括依据天象进行气象预报。这是所谓“星占地理学”（astrological geography）和“星占气象学”（astrological meteorology）的内容，与发端于巴比伦的军国星占学（judicial astrology）有所不同。
星占学之应用于个人，也即“生辰星占学” （horoscope astrology），则是《四书》后两卷全力探讨的内容。托勒密在这两卷中的论述，集此前这方面学说之大成。
托勒密先谈到获取精确出生时刻的困难，而这是以后一切推算的基础。至于准确得知受孕时刻自然更为困难。确定这些时刻都要依靠天文观测，使用星盘（astrolabe）和时计，被特别提到的是水钟（water clock ），但托勒密认为精确程度不够。虽然受孕时刻和分娩时刻都应注意，但托勒密认为分娩时刻更重要。
接下来详细论述算命天宫图的构成与排算。托勒密认为一个好的星占学家能够从中发现许多信息，这些信息中的一个重要组成部分是其人的体质特征。例如当土星位于出生时刻天宫图东侧时，这个婴儿将来会是：
黄肤色、好体格，黑色卷发，宽阔而坚强的胸膛，常规眼睛，身材匀称，气质是湿与冷的混合。
一生的疾病也能从天宫图中看出，但更玄妙的是对其人心灵、思想倾向和特征的预言。这类预言依据的重点是黄道十二宫的“主”、“定”、“移”三类宫的位置。例如四“主宫”（白羊、巨蟹、天秤、摩羯四宫）的作用是：
通常倾向于使心灵对政治感兴趣，会使其人投身于公共事务或动乱；好大喜功；醉心于神学；同时，其人是机巧的、敏锐的、好奇的、别出心裁的、深思的；还会致力于研究星占学与占卜术。
《四书》后两卷集中讨论的生辰星占学，并非托勒密首创，早在好几百年前就已发源于巴比伦，传入希腊化世界（包括埃及在内）也已很久，所以托勒密当然不能不在大体上与旧有的星占学原则相一致；然而在这两卷中他还是经常有所创新和发展。
至于同样发端于巴比伦的“军国星占学”（专论王朝军国大事，如战争胜负、年成丰歉等），《四书》中完全未涉及。这一点正标志着西方星占学史上潮流的转换——军国星占学随着巴比伦文明的衰退，在西方世界（包括中东等地）很快走向沉寂，而后起的生辰星占学则登场成为主流。
《四书》集希腊化时代星占学之大成，它在西方星占学史上的地位，确实可与《至大论》在西方天文学史上的地位并驾齐驱。《四书》在托勒密生活的时代即已产生广泛影响，而且这种影响在他身后持续了许多世纪。好些有名的星占学家，如希巴恰斯（Hipparchus，底比斯的），保罗（Paul，亚历山大城的）以及尤里乌斯?菲尔米库斯（Julius Firmicus ）等人，都引用《四书》，并将此书视为最基本的第一手星占学资料。《四书》为此后一千九百年间西方星占学的理论和实践提供了标准模式。
托勒密在《至大论》中几乎完全未讨论星占学（只有卷二、卷六等少数几处与星占学有间接关系），此外他的《恒星之象》（Phases of the Fixed Stars）仅第二卷存世，专论一些明亮恒星的偕日升与偕日落，列出这些星象对未来气候变化的预兆意义。这种把现代意义上的气象学与星占学结合在一起的传统，从古希腊一直持续到欧洲的文艺复兴时期。托勒密的《谐和论》（Harmonica）三卷，系数理乐律学著作，根据各个不同传统的希腊体系，讨论各种音调及其分类中的数学音程等问题，但其中也谈到一些星占学概念，特别是卷三的第16节，谈论各行星的星占学性质及属性之类。
托勒密在历史上既以星占大师著称，难免发生一些后世星占书伪托在他名下的现象。其中特别有名的例子是《金言百则》（拉丁文作Centiloquium），这是一部星占学格言集，共100 则，本是通俗之作，没有什么数理内容，古时被归于托勒密名下流传，但学者们早已确认是出于伪托。
载《新发现》杂志第3期
科学外史（21）
他还是地理学的托勒密——该谈谈托勒密了之四
江晓原
由于托勒密在天文学上的成就实在太大，以至于产生了一个修辞手法——将某门学问历史上集大成的大师称为“某某学的托勒密”。那么，仿此，历史上“地理学的托勒密”是谁呢？颇出许多现代人的意料之外，那竟是托勒密本人。
我们对于托勒密的个人师承，迄今几乎一无所知。托勒密的不少著作都题赠给一个叫做赛鲁斯（Syrus）的人，他的《至大论》中曾使用了塞翁（Theon）的行星观测资料，但这些都不足以确定托勒密的师承。还有人猜测泰尔的马里努斯（Marinus of Tyre）是他的老师，因为托勒密在《地理学》（Gography）一书中使用并修订了不少来自马里努斯的资料，但是目前能够肯定的只是，此人是托勒密的前辈。
托勒密的《地理学》八卷，在相当程度上是以马里努斯的工作为基础的。如果没有托勒密的《地理学》一书，马里努斯很可能会在历史上湮没无关闻；这情形和希帕恰斯的天文学成就全赖托勒密《至大论》记载保存极为相似。与在天文学史研究中的情形一样，也有人将托勒密《地理学》贬斥为马里努斯的“拙劣抄袭者”。然而《至大论》对希帕恰斯和《地理学》对马里努斯工作的保存及记述，恰恰证明了托勒密在此两大领域内，都将自己的工作置于前辈最伟大成就的基础之上，集其大成。而他本人在这两个领域中的巨大成就，也是有目共睹的。
地理学在古希腊已发展到相当高度，分为“地图学”和“地方志”两个主要方面。地图学是古代数理地理学——也是希帕恰斯创立的——的主要内容，包括绘制地图所需的几何投影方法、主要城市的经纬度测算等。到了托勒密生活的时代，世界性的罗马大帝国大大增进了欧、亚、非三大洲各民族之间的了解和交流，无数军人、官吏、僧侣、商人、各色人等的远方见闻，又有利于地方志的进一步发展。
托勒密明确将他所研究的内容与地方志区分开来，他在《地理学》中完全不涉及地方志。这种做法受到某些现代研究者的批评，认为他使地理描述内容变得贫乏，实际上使地理学降级为地图编制学，因而对古代地理学的衰落负有责任。但托勒密醉心于精密数理科学，对搜奇志怪的古代地方志缺乏兴趣，他当然有权根据自己的学术兴趣选择研究方向。
《地理学》第一卷为全书的理论基础。托勒密在其中评述了马里努斯的一系列工作，并介绍他人本人所赞成的地理学体系。其中特别值得注意的是托勒密对地图绘制法的讨论，他不赞成马里努斯所用的坐标体系，认为它对实际距离的扭曲太大。为此他提出两种地图投影方法。
第一种见图1，各圆弧都以H点为圆心作成，代表不同的纬线；各经线皆为以H点为中心向南方辐射的直线；注意H点是位于北极上空的某一点。图中经度仅180°，纬度仅有从北纬63°至南纬16°25’，这是因为当时的地理学家所知道的“有人居住世界”（inhabited world）就仅在此极限之内。图1中特别画出北纬36°的纬线，这是那时各种地图的常例。北纬36 °正是罗得岛所在的纬度，从中犹可看到这门学问的创始人、设立天文台于罗得岛的希帕恰斯的影子。
用现代的标准来看，图1中的赤道以北地区的投影，完全符合圆锥投影（conic projection）的原理。至于赤道以南纬16°25’之区的地区，托勒密采用变通办法，将南纬16°25’纬线画成与北纬16°25’对称的状况，并作对等的划分。这也不失为合理。
托勒密提出的第二种投影方法见图2，纬线仍是同心圆弧，但各经线改为一组曲线。这个方案中还绘出了北回归线，即纬度为23°50’的纬线。此法大致与后世地图投影学中的“伪圆锥投影”（pseudo–conic projection）相当，它比圆锥投影复杂，因为现在任一经线与中央经线的夹角不再是常数（在圆锥投影中该夹角为常数，等于两线所代表的经度差乘以一个小于1的常数因子），而是变为纬度的函数。
托勒密指出上面两种投影法各有利弊，第二种能更好地反映实际情况，但操作使用起来不如第一种方便，因此他建议这两方法都应考虑采用。托勒密《地理学》中的世界地图，就是采用第二种投影法绘制的。这两种地图投影法是地图投影学历史上的巨大进步，托勒密在这方面的造创，要再过将近1400年才后继有人。
《地理学》其余各卷中，列述欧、亚、非三大洲共约8100处地点的地理经度和纬度值，以及当地山川景物、民族情况等，也经常记录并讨论一些地点相互之间的距离和道路。所以《地理学》一书有时又被称为《地理志》。书中对358个重要城市作了较详细的记述，并记下这些城市在一年中的最大日长（该值是当地地理纬度的函数）。《地理学》中有26幅区域地图组成的地图集，其中欧洲10幅，亚洲12幅，非洲4幅。每个地区以下再划分为省，各地区由其平均纬度来标定位置，并根据其东南西北四个极点画出自然界线。
在当时，地理纬度可通过在当地作天文观测来确定（比如测定一年中圭表在当地影长的变化），地理经度则可由在两地先后观测一次交食来确定（获得两地经度差），但此法理论上虽然可行，实际上很少有人能真正去实施，据研究，托勒密只掌握少数几个城市的来自天文测定的地理纬度值，至于两地同测一次交食的观测资料，他能依据的似乎只有一项：公元前331年9月20日的月食，曾在迦太基（Carthage）和美索不达米亚的阿尔比勒（Arbela）被先后观测。不幸的是，这项数据的记载有严重错误：两地见食的时间差应该只有两小时左右，但托勒密误为约三小时，这一错误可能是导致托勒密地图一系列错误的主要原因之一。
载《新发现》杂志第4期
一个改变了世界的历史伟人——该谈谈托勒密了之五
江晓原
为了避免读者对托勒密的伟大名字开始厌倦，我打算在这一次结束关于他的话题——即使还有许多他的科学成就（比如光学实验）来不及谈也在所不惜了。这样我们就不得不开始讨论他的历史影响。
有些人喜欢将托勒密与亚里士多德的宇宙体系混为一谈，进而视托勒密为阻碍天文学发展的历史罪人。在中国人熟悉的文献中，李约瑟“亚里士多德和托勒密僵硬的同心水晶球概念，曾束缚欧洲天文学思想一千多年”的说法堪为代表，至今仍被一些中文著作所援引。而这种说法明显违背了历史事实。亚里士多德确实主张一种同心叠套的水晶球（crystalline spheres）宇宙体系，但托勒密从未表示赞同这种体系。况且，亚里士多德学说直到13世纪仍被罗马教会视为异端，多次禁止在大学里讲授，因此无论是托勒密还是亚里士多德，都根本不可能“束缚欧洲天文学思想一千多年”。托马斯?阿奎那在论证水晶球宇宙体系时，曾引用托勒密的著作来论证地心、地静之说，到13罗马教皇宣布他为“圣徒”，他的经院哲学体系被教会认可为官方学说，亚里士多德的宇宙体系这才开始束缚了欧洲天文学思想约二三百年，而这又怎么能归罪于托勒密呢？
阿拉伯天文学家接触到《至大论》后，很快发现它所代表的天文学水准明显超出当时波斯和印度的天文学。他们在月球和行星运动理论上则继承托勒密遗产的同时，也通过实际观测而改进了《至大论》在太阳运动理论方面的欠缺，比如巴塔尼（Al Battani）的《积尺》（Zij，天文历算之书）、法干尼（Al Farghani）的《至大论纲要》（Epitome）等。受到托勒密著作影响的著名阿拉伯天文学家还可以提到纳西尔丁?图西（Nasir al-Din al Tusi）和伊本?沙提尔（Ibn al-Shatir），前者是那时有国际声望的学者兼政治人物，他的天文体系中力图恢复匀速圆周运动，后者对托勒密的月球运动模型有所改进。
阿拉伯学者将托勒密天文学的火炬传给欧洲之后，直到公元16世纪，没有任何西方的星历表不是按托勒密理论推算出来的。虽然星历表的精确程度不断有所提高，但由于托勒密所使用的本轮–均轮系统具有类似级数展开的功能，为了增加推算精度，可以在本轮上再叠加小轮，让此小轮之心在本轮上绕行，而让天体在小轮上绕行。从理论上说，小轮可以不断增加，只要调整诸轮的半径、绕行方向和速度，就能求得更高精度。关于小轮体系的繁琐，是许多宣传性读物中经常谈到的托勒密罪状之一，但这在明显是不公平的——在《天体运行论》中，被誉为“简洁”的哥白尼体系也使用了小轮和偏心圆达34个之多。
西方天文学发展的最基本思路是：在已有实测资料基础上，以数学方法构造模型，再用演绎方法从模型中预言新的天象；如预言的天象被新的观测证实，就表明模型成功，否则就修改模型。在现代天体力学、天体物理学兴起之前，模型都是几何模型——从这个意义上说，托勒密、哥白尼、第谷乃至创立行星运动三定律的开普勒，都无不同。正如著名的西方数理天文学史家奈格堡（O. Neugebauer）所指出的：“全部中世纪的天文学——拜占廷的、最后是西方的——都和托勒密的工作有关，直到望远镜发明和牛顿力学的概念开创了全新的可能性之前，这一状态一直普遍存在。”牛顿之后则主要是物理模型，但总的思路仍无不同，直至今日还是如此。如果考虑到在传世的文献中，正是托勒密的《至大论》第一次完整、全面、成功地展示了这种思路的结构和应用，那么对于托勒密在天文学史乃至整个科学史上的功绩和影响，就不难获得持平之论。
托勒密的光学著作《光学》（Optics）一书，至少为11世纪初著名的阿拉伯学者伊本?海赛木（Ibn a lHaytham）的光学巨著《光学书》（Kitab al-Manazir）提供了灵感。此书从形式到许多内容都源自《光学》，其中一些实验也被认为是源于托勒密的。《光学书》不久被译成拉丁文，名《光学宝鉴》（Opticoae thesaurus），成为中世纪晚期的标准论著，人们在罗吉尔?培根、达?芬奇和开普勒的著作中，都可以看到《光学宝鉴》的影响——因而也就是托勒密的影响。
托勒密《谐和论》（Harmonica）一书，在后世的权威不算十分大，但他的一些音乐原则在拉丁世界也是颇为人知的。比较引人注目的是此书对开普勒的影响，开普勒的《宇宙谐和论》（Hermonice mundi,）全书皆为步托勒密后尘之作。
托勒密地理学对后世的影响，从世俗的意义上说很可能超过了《至大论》。他的《地理学》在公元9世纪初叶即有阿拉伯译本，书中关于伊斯兰帝国疆域内各地的记载，很快被代之以更准确的记述。大约1406年出现了由安杰勒斯（J. Angelus）从希腊文本译出的拉丁文译本，并很快流行起来，因为此书即使在当时，仍是对已知世界总的地理情况的最佳指南。托勒密也提供了世界上最早的有数学依据的地图投影法。
我之所以将托勒密称为“一个改变了世界的历史伟人”，主要是考虑到，一个伟大学者的论著，有时会对人类历史的发展产生不可思议的直接影响。这种影响是他在撰写其论著时绝对没有想到的。托勒密就是少数这样的伟大学者之一。现代学者的详细研究表明：哥伦布在开始他那改变人类历史的远航之前，至少曾细心阅读过5本书，其中唯一的地理类著作就是托勒密的《地理学》，因此可知哥伦布的地理思想主要来自托勒密。哥伦布相信：通过一条较短的渡海航线，就可以到达亚洲大陆的东海岸，结果他在他设想的亚洲东岸位置上发现了美洲新大陆——尽管他本人直到去世时，仍坚持认为他发现的是托勒密地图上所绘的亚洲大陆。
